Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)

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b) Al desarrollar el binomio <math>\left( \cfrac{x^m}{y^{n-10}}+\cfrac{y^{n+20}}{x} \right)^n\;</math> se obtiene un único término central, cuya parte literal es <math>x^{120}y^{720}\;</math>. Halla el valor de <math>m+n\;</math>. b) Al desarrollar el binomio <math>\left( \cfrac{x^m}{y^{n-10}}+\cfrac{y^{n+20}}{x} \right)^n\;</math> se obtiene un único término central, cuya parte literal es <math>x^{120}y^{720}\;</math>. Halla el valor de <math>m+n\;</math>.
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Tabla de contenidos

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(pág 45)

Binomio de Newton

ejercicio

Teorema: Fórmula del binomio de Newton

El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:

(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,


que podemos expresar de forma abreviada de la siguiente manera:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k

siendo{n\choose k}, los coeficientes binomiales.


Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karaji alrededor del año 1000.

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.
Aumentar
Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.

\begin{matrix} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}{1 \choose 1} \\ {2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4} \\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \end{matrix}\;

Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, en los siglos X y XI, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

También conocido como triángulo de Tartaglia, especialmente en Italia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77).

ejercicio

Propiedades

  1. Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella.
  2. Los coeficientes del desarrollo de (a+b)n se encuentran en la línea "n+1" del triángulo de Pascal.
  3. El triángulo de Pascal es simétrico.
  4. La suma de todos los valores de la fila "n" del triángulo de Pascal es igual a 2n.
Triángulo de Pascal para n=10.
Aumentar
Triángulo de Pascal para n=10.
Triángulo de Pascal para n=3.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Binomio de Newton

(Pág. 45)

1a

1b,c; 2

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