Ecuaciones de segundo grado (3ºESO Académicas)
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Tabla de contenidos |
(Pág. 108)
Ecuación de segundo grado
- Una ecuación de segundo grado con una incógnita,
, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.
![ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0](/wikipedia/images/math/e/f/c/efcbfce800ee7ed5282bc3558a26123d.png)
- Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.
es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general:
es una ecuación de segundo grado incompleta, ya que se puede reducir a la siguiente forma general:
es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general:
no es una ecuación de segundo grado, ya que al reducirla resulta una ecuación de primer grado:
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Definición de ecuación de segundo grado.
Actividades en la que aprenderás a identificar los coeficientes de una ecuación de segundo grado y a determinar si es completa o incompleta.
El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Definición de ecuación de segundo grado.
- Fórmula para su resolución con su demostración.
- Definición de discriminante de una ec. de segundo grado y su relación con el número de soluciones de ésta y con ejemplos de cada caso.
- Factorización del polinomio de segundo grado a partir de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado.
- Propiedades del producto y la suma de las raíces de la ecuación con su demostración.
- Ecuaciones de segundo grado incompletas.
Ecuación de segundo grado completa
Fórmula general
Las soluciones de la ecuación de segundo grado
![ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0](/wikipedia/images/math/e/f/c/efcbfce800ee7ed5282bc3558a26123d.png)
son:
![x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}](/wikipedia/images/math/7/8/d/78d138676c24e00b4c5693062069b2f3.png)
donde el signo significa que una solución se obtiene con el signo
y otra con el signo
.
A continuación tienes la demostración en videtutorial y por escrito:
![](/wikipedia/images/thumb/c/c2/Angelmartinez.jpg/22px-Angelmartinez.jpg)
Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.
Demostración:
1. Se divide la ecuación por :
![x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0](/wikipedia/images/math/3/3/1/331965eab23c07cd4a08f1dcccac079c.png)
2. Se multiplica y divide por el coeficiente de la
:
![x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0](/wikipedia/images/math/3/6/4/364bb30a598049578669b81c67a804c0.png)
3. Se suma a los dos miembros de la igualdad :
![x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}](/wikipedia/images/math/6/8/9/689b41c3f52d26c9fd6381b822059f90.png)
4. Se pasa restando a la derecha :
![x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}](/wikipedia/images/math/0/6/3/063093c4131b43ae474ccb402c4eaedd.png)
5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de :
![\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}](/wikipedia/images/math/d/4/8/d48d8dfc634e4ac579e4c8c2129598d4.png)
6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
![x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}](/wikipedia/images/math/0/3/6/036dd2756510742108c5c72931d79f68.png)
7. Se despeja x:
![x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}](/wikipedia/images/math/b/8/c/b8c5c2f371fb8f9f4813ac28be42b474.png)
8. Se simplifica la expresión:
![x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}](/wikipedia/images/math/a/3/2/a327b6f02f14cb103e4c3ea53a371e22.png)
En la escena, pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/4/49/Carreon.jpg/22px-Carreon.jpg)
Cómo utilizar la fórmula general de la ecuación de segundo grado.
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado aplicando la fórmula general de resolución.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Escribe en forma general e identifica los coeficientes "a", "b", y "c": 6x2 + 3 = 2x − 6.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Resuelve usando la fórmula: − x2 + 8x = 1.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Resuelve usando la fórmula: − 3x2 + 10x − 3 = 0.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Resuelve usando la fórmula: − 7q2 + 2q + 9 = 0.
Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Resolver ecuaciones de segundo grado completas.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado completas.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
- Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
- Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
- Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado completas.
Número de soluciones de la ecuación de segundo grado
Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, , al número:
![\triangle = b^2-4ac](/wikipedia/images/math/5/7/a/57adb4969ce7cce71eaa2b82d0bb4eb8.png)
Proposición
Sea el discriminante de una ecuación de segundo grado:
- Si
, la ecuación no tiene solución.
- Si
, la ecuación tiene dos soluciones.
- Si
, la ecuación tiene una solución (doble).
La demostración es inmediata teniendo en cuenta la fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado:
![x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}](/wikipedia/images/math/7/8/d/78d138676c24e00b4c5693062069b2f3.png)
ya que, lo que hay en el radicando, es precisamente el discriminante. Por tanto,
- Si su signo es positivo, la raíz existe y da lugar a dos soluciones distintas.
- Si su signo es negativo, la raíz no existe y no hay ninguna solución.
- Si es cero, la raíz vale cero, y hay dos soluciones iguales (solución doble).
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Número de soluciones de una ecuación de 2º grado. Discriminante.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación .
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación .
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación .
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación .
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación .
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Determinar el número de soluciones de la ecuación .
Actividades en la que aprenderás a calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y su utilidad para determinar el número de soluciones de la misma.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Calcula el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:
- Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
- Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
- Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
- Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Resolución de ecuaciones de segundo grado |
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Una ecuación de segundo grado, , es incompleta, si
ó
:
- Si
- Si
Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas
- En el caso
, las soluciones se obtienen despejando
:
- En el caso
![ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}](/wikipedia/images/math/6/0/f/60faf3c382be3b66e822aee25bf5e65e.png)
- En el caso
, las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
- En el caso
![ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .](/wikipedia/images/math/0/5/3/053c365b65925c9ef8b22d8911f1dd89.png)
En la escena, pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos.
En la escena, pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Ecuaciones de segundo grado sin termino lineal (caso b=0). Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Ecuaciones de segundo grado sin termino independiente (caso c=0). Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso b=0)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso c=0)
Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso b=0):
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Resuelve:
Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso c=0):
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Resuelve:
Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo b=0.
Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo c=0.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado incompletas.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado incompletas.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ecuaciones de segundo grado incompletas |
Raíces de los polinomios de segundo grado
Factorización de polinomios de segundo grado
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Factorización de polinomios de segundo grado. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Factoriza:
a)
b)
c)
d)
Obtención del polinomio de segundo grado a partir de sus raíces
Plantilla:Obtención de la ecuación de segundo grado a partir de sus raíces
Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado
Procedimiento
Para resolver una ecuación de segundo grado sigue los siguiente pasos:
- Lo primero que hay que hacer es ponerla en forma general. Para ello será necesario quitar denominadores, quitar paréntesis, simplificar, transponer y ordenar los términos.
- Una vez en forma general, si la ecuación es incompleta aplicaremos las técnicas explicadas para tal caso. Si la ecuación es completa usaremos la fórmula general.
- Una vez resuelta, opcionalmente podemos comprobar las soluciones, sustituyendo en la ecuación de partida.
Ejercicios resueltos:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
- 1.
- 2.
- 3.
Soluciónes:
- 1.
.
- 2.
.
- 3.
.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ejercicios de ecuaciones de segundo grado en forma general.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Ejercicios de ecuaciones de segundo grado en forma de fracciones algebraicas
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado en donde no merece la pena utilizar la fórmula general de resolución.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado |
Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado
Ejercicios resueltos:
- En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro cateto. Calcular la longitud de los tres lados.
- Con 14 m de listones puedo colocar un rodapié a lo largo de toda una habitación rectangular, sin que sobre nada. ¿Qué dimensiones tiene la habitación sabiendo que su superficie es de 12 m2?
Solución 1: 10 cm, 24 cm y 26 cm.
Solución 2: 4 m y 3 m.![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
- Si sumamos el cuadrado de un número más el cuádruplo del siguiente resulta 255. ¿De qué número se trata?
- Averigua el número que cumple la siguiente condición: si se multiplica su siguiente por el número disminuido en 3 unidades se obtiene 77.
- Mi padre tiene una finca rectangular que tiene 70 m de perímetro y 300 m2 de área. ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
En un rectángulo el largo mide (x+7) y el ancho (x+2). Si el área vale 36, halla el valor de x.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
En un triángulo rectángulo un cateto excede al otro en 3 cm. Determina el perímetro del triángulo sabiendo que su área es 54 cm2.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
En un triángulo rectángulo los catetos son dos números enteros pares consecutivos. Determina la hipotenusa del triángulo sabiendo que su área es 24 cm2.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Una piscina rectangular de 1 m de largo por 9 m de ancho está rodeada por un camino de ancho uniforme. Si el área del camino es 81 m2, ¿cuánto mide de ancho?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
La altura de un triángulo es de 4 cm menos que el largo de su base. Si su área es de 30 cm2, ¿cuánto mide la altura y la base?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
El volumen de una caja es de 405 unidades cúbicas. El largo de la caja es de "x" unidades, el ancho de "x+4" unidades y la altura de 9 unidades. Halla las dimensiones de la caja.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado |