Cálculo de límites (2ºBach)

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Tabla de contenidos

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Cálculo del límite de una función en un punto

El cálculo del límite de una función en un punto puede ser muy fácil (inofensivo) o difícil (peligroso). Vamos a ver como hay que proceder en cada caso. En los siguientes videos puedes ver algunas nociones previas de interés.

El siguiente vídeo resume gran parte de lo que vamos a ver en los siguientes apartados.

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Límite en un punto en el que la función es continua

El caso más sencillo de cálculo del límite de una función en un punto es aquel en el que la función es continua en dicho punto. En efecto:

ejercicio

Proposición

Si f(x)\; es continua en el punto x=c\;, entonces

\lim_{x \to c} f(x)=f(c)

ejercicio

Ejemplo: Cálculo del límite en un punto en el que la función es continua

Calcula:

\lim_{x \to 3} \cfrac{x-2}{x-5}

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Límite de funciones a trozos

A continuación vamos a ver cómo se estudian los límites de una función definida a trozos. Por simplicidad supondremos que la función consta de sólo dos trozos, pero el procedimiento es extensible a funciones definidas en más de dos trozos.

ejercicio

Procedimiento

Consideremos la siguiente función definida a trozos:

f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\ f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}

con f_1(x)\; y f_2(x)\; continuas.

Para el estudio del \lim_{x \to c} f(x) consideraremos los siguientes casos:

  1. Si c<a\;, entonces \lim_{x \to c} f(x)=f_1(c)
  2. Si c>a\;, entonces \lim_{x \to c} f(x)=f_2(c)
  3. Si c=a\;, entonces es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite. Para calcular los límites laterales procederemos como se indica a continuación:
     \lim_{x \to a^-} f(x)=f_1(a)
     \lim_{x \to a^+} f(x)=f_2(a)

Entonces, si f_1(a)=f_2(a)=k\;, existirá el límite y será: \lim_{x \to a} f(x)=k.

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos. Estudio de la continuidad

Estudia la continuidad de la siguiente función:

y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos con parámetros. Estudio de la continuidad

Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:

y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+n & \mbox{si }x>1 \end{cases}

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Límites peligrosos

Vamos a considerar que un límite es "peligroso" o difícil de calcular, si la función en dicho punto no está definida y, por tanto, no podemos aplicar la propiedad de que el valor del límite en un punto en el que la función es continua coincide con el valor de la función en dicho punto.

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Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

ejercicio

Procedimiento

Cuando el denominador de la función se anula en el punto en el que queremos calcular el límite, nos podemos encontrar con dos situaciones:

  1. El numerador no se anula: entonces calcularemos los límites por la derecha y por la izquierda que podrán ser +\infty ó -\infty. En tal caso el límite podrá no existir (si los límites laterales no coinciden) o podrá der +\infty ó -\infty (si los límites laterales coinciden).
  2. El numerador también se anula: entonces tendremos una indeterminación del tipo 0/0. Para resolverla haya que recurrir a técnicas especiales. El caso en el que la función sea racional lo trataremos más adelante.

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Calcula el valor de los siguientes límites:

a) \lim_{x \to 0} \frac{1}{sen \,x}         b) \lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}

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Límite de cociente de funciones polinómicas

ejercicio

Procedimiento

Sea f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}, con P(x)\; y Q(x)\; dos polinomios en x.

  1. \mbox{Si} \ Q(c) \ne 0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{P(c)}{Q(c)}
  2. \mbox{Si} \ P(c) \ne 0 \ \ \mbox{y} \ \ Q(c)=0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}=\pm \infty. En este caso será necesario estudiar los límites laterales para determinar el signo del infinito por cada lado. Podemos hacer uso de la calculadora.
  3. \mbox{Si} \ P(c)=Q(c)=0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \mbox{indeterminado (0/0)}. Para resolver la indeterminación simplificaremos la fracción, ya que al anularese los dos polinomios deberán tener factores comunes. Una vez simplificada volveremos a calcular el límite, pudiendo darse cualquiera de las tres situaciones que acabamos de ver, repitiendo el proceso hasta que estemos en los caso 1 ó 2 y quede calculado el límite.

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función cociente de polinomios

Calcula el valor de los siguientes límites y haz un esbozo gráfico del resultado:

a) \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-2}         b) \lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-10}

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