Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)
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==Ramas infinitas de las funciones racionales== | ==Ramas infinitas de las funciones racionales== | ||
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada: | + | {{Ramas infinitas de las funciones racionales}} |
- | {{p}} | + | |
- | <center><math>f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center> | + | |
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- | La función <math>f(x)\;</math> tiene las siguientes ramas infinitas: | + | |
- | *'''Asíntotas verticales:''' | ||
- | **Si <math>x=c\;</math> es una raíz de Q(x), entonces la recta <math>x=c\;</math> es una asíntota vertical de <math>f(x)\;</math>. | ||
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- | **Si <math>n=m\;</math>, entonces la recta <math>y=\cfrac{a_n}{b_n}\;</math> es una asíntota horizontal de <math>f(x)\;</math>, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>. | ||
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- | *'''Asíntotas oblicuas:''' | ||
- | **Si <math>n-m=1\;</math>, <math>f(x)\;</math> tienen una asíntota oblicua, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre <math>P(x)\;</math> y <math>Q(x)\;</math>. | ||
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- | *'''Ramas parabólicas:''' | ||
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- | |duracion=4'38" | ||
- | |sinopsis=Estudio de las ramas infinitas de la función <math>y=\cfrac{-2x}{(x^2+1)^2}</math>. | ||
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- | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
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- | |sinopsis=Estudio de las ramas infinitas de la función <math>y=\cfrac{x^3+8}{x^2-4}</math>. (Caso con discontinuidad evitable) | ||
- | |url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/2-bachiller/representacion-de-funciones/asintotas/discontinuidad-evitable | ||
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- | {{p}} | ||
- | {{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos|enunciado=Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones: | ||
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- | :a) <math>y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}</math> | ||
- | |sol= | ||
- | a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1 | ||
- | |||
- | b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3 | ||
- | |||
- | c) A.V.: x=3; R.I. | ||
- | |||
- | ---- | ||
- | Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones: | ||
- | |||
- | {{p}} | ||
- | {{Geogebra_enlace | ||
- | |descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos. | ||
- | |enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones] | ||
- | }} | ||
- | }} | ||
===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
{{ejercicio | {{ejercicio |
Revisión de 17:50 26 jun 2017
Tabla de contenidos[esconder] |
Ramas infinitas
Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.
Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.
Asíntota
Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a o a
.
Hay tres tipos:
- Asíntota vertical (A.V.)
- Asíntota horizontal (A.H.)
- Asíntota oblicua (A.O.)
Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.
Asíntota vertical
Una función Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. | Asíntota vertical: x = 2
|
Asíntota horizontal
Una función ![]() o bien, ![]() Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. | Asíntota horizontal: y = 1
|
Asíntota oblicua
Una función ![]() o bien, ![]() Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. Para calcular los coeficientes
| Asíntota oblicua: y = x + 3
|
Rama parabólica
Una función ![]() o bien, ![]() | Ramas parabólicas
|
Estudio de las asíntotas de una función
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas |
Ramas infinitas de las funciones racionales
Proposición
Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

La función (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:
- Asíntotas verticales:
- Si
es una raíz de Q(x), entonces la recta
es una asíntota vertical de
.
- Si
- Asíntotas horizontales:
- Si
, entonces la recta
es una asíntota horizontal de
, tanto por
, como por
.
- Si
, entonces la recta
es una asíntota horizontal de
, tanto por
, como por
.
- Si
- Asíntotas oblicuas:
- Si
,
tienen una asíntota oblicua, tanto por
, como por
. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre
y
.
- Si
- Ramas parabólicas:
- Si
, entonces
tiene una rama parabólica, tanto por
, como por
.
- Si
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales |
Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
Funciones trigonométricas
Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:
Propiedades
- Las funciones
,
e
, por ser periódicas, no tienen límite cuando
ni cuando
. Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.
- La función
, tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos

Funciones exponenciales
Si recordamos las propiedades de las funciones exponenciales, tenemos:
Propiedades
La función tiene:
- Asíntota horizontal:
- En
para
si
- En
- En
para
si
- En
- Rama parabólica:
- Para
si
- Para
- Para
si
- Para
- Asíntota vertical: No tiene, pués es continua en toda la recta real.
Funciones logartmicas
Si recordamos las propiedades de las funciones logarítmicas, tenemos:
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas |