Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)
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- | #<math>f(x)\,</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math> cuando <math>x\;</math> tiende a un punto, por la derecha o por la izquierda. | + | |
- | #<math>f(x)\,</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math> cuando <math>x\;</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>. | + | |
- | #<math>f(x)\,</math> tiende a un número real cuando <math>x\;</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>. | + | |
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- | ===Asíntotas verticales=== | ||
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- | :<math>\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ \acute{o} \ -\infty</math> | ||
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- | :<math>\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ \acute{o} \ -\infty</math> | ||
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- | La gráfica de la función se acerca a la recta <math>x=a\;</math> (asíntota vertical), al aproximarse la variable <math>x\;</math> al punto <math>x=a\;</math>. | ||
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- | ==Ramas infinitas== | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto=Una función f(x) presenta una '''rama infinita''' si ocurre uno de los dos casos siguientes: | ||
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- | #<math>f(x)\;</math> presenta una asintota. | ||
- | #<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ \acute{o} -\infty</math>, o bien, <math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ \acute{o} -\infty</math>. | ||
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- | {{p}} | ||
- | [[Imagen:oblicua.png|center|200px]]{{p}}<center><math>\lim_{x \to -\infty} x^3=-\infty \ ; \ \lim_{x \to +\infty} x^3=+\infty</math></center> | ||
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- | ===Ramas infinitas cuando x tiene a infinito=== | ||
===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
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===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
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==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas== | ==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas== | ||
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===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
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Tabla de contenidos |
Ramas infinitas
Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.
Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.
Asíntota
Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a o a
.
Hay tres tipos:
- Asíntota vertical (A.V.)
- Asíntota horizontal (A.H.)
- Asíntota oblicua (A.O.)
Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Asíntotas. Tipos.
Asíntota vertical
Una función Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. Veamos cómo la función En efecto, Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución: ![]() En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos. | Asíntota vertical: x = 2
|
Asíntota horizontal
Una función ![]() o bien, ![]() Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. Veamos cómo la función En efecto, Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución: ![]() En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos. | Asíntota horizontal: y = 1
|
Asíntota oblicua
Una función ![]() o bien, ![]() Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. Para calcular los coeficientes
Veamos cómo la función En efecto, sea Para Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución: ![]() En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos. | Asíntota oblicua: y = x + 3
|
Rama parabólica
Una función ![]() o bien, ![]() | Ramas parabólicas
|
Las funciones exponenciales, las polinómicas de grado mayor que 1, las logarítmicas y las irracionales tienen ramas parabólicas. Las dos primeras tienen un crecimiento/decrecimiento más rápido que las dos últimas.
Estudio de las asíntotas de una función
![](/wikipedia/images/thumb/7/75/TodoSobresaliente.jpg/22px-TodoSobresaliente.jpg)
Asíntotas. Conceptos básicos. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Estudio de las asíntotas verticales de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Estudio de las asíntotas horizontales de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional (Introducción).
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Estudio de las asíntotas oblicuas de una función no racional.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:
Actividad: Tendencia de una función
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas |
Ramas infinitas de las funciones racionales
Proposición
Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):
![f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;](/wikipedia/images/math/f/0/6/f06a75e65b240e3c164f34a7298d0034.png)
La función (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:
- Asíntotas verticales:
- Si
es una raíz de Q(x), entonces la recta
es una asíntota vertical de
.
- Si
- Asíntotas horizontales:
- Si
, entonces la recta
es una asíntota horizontal de
, tanto por
, como por
.
- Si
, entonces la recta
es una asíntota horizontal de
, tanto por
, como por
.
- Si
- Asíntotas oblicuas:
- Si
,
tienen una asíntota oblicua, tanto por
, como por
. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre
y
.
- Si
- Ramas parabólicas:
- Si
, entonces
tiene una rama parabólica, tanto por
, como por
.
- Si
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Obtén las asíntotas de la función
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Obtén las asíntotas de la función
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Obtén las asíntotas de las funciones:
![](/wikipedia/images/thumb/7/75/TodoSobresaliente.jpg/22px-TodoSobresaliente.jpg)
Obtén las asíntotas de las funciones:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Estudio de las asíntotas de .
Hace un estudio detallado de la posición relativa de la curva respecto de la asíntota oblicua usando el método riguroso de límites.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Lista de reproducción que consta de 12 vídeos sobre estudio de asíntotas de funciones racionales.
Ejercicios resueltos
Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:
- a)
b)
c)
a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1
b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3
c) A.V.: x=3; R.I.
Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales |
Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
Funciones trigonométricas
Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:
Propiedades
- Las funciones
,
e
, por ser periódicas, no tienen límite cuando
ni cuando
. Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.
- La función
, tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos
![\left \{ x= \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}](/wikipedia/images/math/e/c/3/ec3d73cecb311621357e5eee975d7736.png)
Funciones exponenciales
Si recordamos las propiedades de las funciones exponenciales, tenemos:
Propiedades
La función tiene:
- Asíntota horizontal:
- En
para
si
- En
- En
para
si
- En
- Rama parabólica:
- Para
si
- Para
- Para
si
- Para
- Asíntota vertical: No tiene, pués es continua en toda la recta real.
Funciones logartmicas
Si recordamos las propiedades de las funciones logarítmicas, tenemos:
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas |