Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Saltar a navegación, búsqueda

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

1 Ramas infinitas
- 1.1 Asíntota
- 1.2 Rama parabólica
2 Estudio de las asíntotas de una función
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Ramas infinitas de las funciones racionales
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

[editar]

Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

[editar]

Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a $+ \infty$ o a $-\infty$ .

Hay tres tipos:

Asíntota vertical (A.V.)
Asíntota horizontal (A.H.)
Asíntota oblicua (A.O.)

Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.

Asíntotas (5'34") Sinopsis:[Mostrar]

[editar]

Asíntota vertical

Una función $f(x)\;$ presenta en $x=a\;$ una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo: [Mostrar]

Asíntota vertical: x = 2

[editar]

Asíntota horizontal

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota horizontal (A.H.) en $y=a\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= a$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= a$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo: [Mostrar]

Asíntota horizontal: y = 1

[editar]

Asíntota oblicua

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota oblicua (A.O.) en $y=mx+n\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Para calcular los coeficientes $m\;$ y $n\;$ de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

$n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

Ejemplo: [Mostrar]

Asíntota oblicua: y = x + 3

[editar]

Rama parabólica

Una función $f(x)\;$ presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

Ramas parabólicas

Ejemplo: [Mostrar]

[editar]

Estudio de las asíntotas de una función

Tutorial 1 (15'24") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2a (A.V.) (9'04") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2b (A.H.) (9'03") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2c (A.O.) (7'42") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2d (A.O.) (7'32") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2e (A.O.) (8'05") Sinopsis:[Mostrar]

Ejemplos (30'17") Sinopsis: [Mostrar]

Tendencia de una función [Mostrar]

[editar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas

(Pág. 287)

[editar]

Ramas infinitas de las funciones racionales

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

$f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

La función $f(x)\;$ (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:

Asíntotas verticales:
- Si $x=c\;$ es una raíz de Q(x), entonces la recta $x=c\;$ es una asíntota vertical de $f(x)\;$ .

Asíntotas horizontales:
- Si $n<m\;$ , entonces la recta $y=0\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .
- Si $n=m\;$ , entonces la recta $y=\cfrac{a_n}{b_n}\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Asíntotas oblicuas:
- Si $n-m=1\;$ , $f(x)\;$ tienen una asíntota oblicua, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ . Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ .

Ramas parabólicas:
- Si $n-m>1\;$ , entonces $f(x)\;$ tiene una rama parabólica, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Ramas infinitas de funciones racionales [Mostrar]

Ejercicios resueltos

Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) $y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}$ b) $y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}$ c) $y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}$

Solución:[Mostrar]

[editar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales

(Pág. 289)

[editar]

Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

[editar]

Funciones trigonométricas

Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:

Propiedades

Las funciones $y=sen x\;$ , $y=cos x\;$ e $y=tg x\;$ , por ser periódicas, no tienen límite cuando $x \to +\infty$ ni cuando $x \to -\infty$ . Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.

La función $y=tg x\;$ , tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos

$\left \{ x= \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$

[editar]

Funciones exponenciales

Si recordamos las propiedades de las funciones exponenciales, tenemos:

Propiedades

La función $y=a^x\;$ tiene:

Asíntota horizontal:

En $y=0\;$ para $x \to +\infty$ si $a>1\;$

En $y=0\;$ para $x \to +\infty$ si $0<a<1\;$

Rama parabólica:

Para $x \to +\infty$ si $a>1\;$

Para $x \to -\infty$ si $0<a<1\;$

Asíntota vertical: No tiene, pués es continua en toda la recta real.

[editar]

Funciones logartmicas

Si recordamos las propiedades de las funciones logarítmicas, tenemos:

Propiedades

La función $y=log_a \, x\;$ tiene:

Asíntota vertical:

En $x=0\;$ , cuando $x \to 0^+$ .

Rama parabólica:

Para $x \to +\infty$

[editar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

(Pág. 290)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ramas_infinitas._As%C3%ADntotas_%281%C2%BABach%29"

 ==Ramas infinitas==
-{{Caja_Amarilla|texto=Decimos que una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''rama infinita''' si:
+{{Ramas infinitas. Asíntotas}}
-#<math>f(x)\,</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math> cuando <math>x\;</math> tiende a un punto, por la derecha o por la izquierda.
-#<math>f(x)\,</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math> cuando <math>x\;</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>.
-#<math>f(x)\,</math> tiende a un número real cuando <math>x\;</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>.
-}}
-{{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Cuando la rama infinita se aproxima a una recta, ésta recibe el nombre de '''asíntota''' de la función.}}
-{{p}}
-==Ramas infinitas==
-{{Caja_Amarilla|texto=Las '''asíntotas''' son rectas hacias que se acerca la gráfica de una recta, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto o a <math>+ \infty</math> o a <math>-\infty</math>.}}
-{{p}}
-===Asíntotas verticales===
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta en <math>x=a\;</math> una '''asíntota vertical''' (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:
-:<math>\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)</math>
-:<math>\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)</math>
-}}
-{{p}}
-La gráfica de la función se acerca a la recta <math>x=a\;</math> (asíntota vertical), al aproximarse la variable <math>x\;</math> al punto <math>x=a\;</math>.
-{{p}}
-|celda2=
-[[Imagen:rama1.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota vertical: x = 2</center>
-}}
-{{p}}
-===Asíntotas horizontales===
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota horizontal''' (A.H.) en <math>y=a\;</math> si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:
-:<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= a</math>
-:<math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= a</math>
-}}
-|celda2=[[Imagen:rama3.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota horizontal: y = 1</math></center>
-}}
-{{p}}
-===Asíntotas oblicuas===
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota oblicua''' (A.O.) en <math>y=mx+n\;</math> si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:
-:<math>\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math>
-:<math>\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math>
-Para calcular los coeficientes <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:
-:<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}</math> {{b4}}(o con <math>x \to -\infty</math>)
-:<math>n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]</math> {{b4}}(o con <math>x \to -\infty</math>)
-}}
-|celda2=
-[[Imagen:oblicua.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota oblicua: y = 2x + 6</center>
-}}
-==Ramas infinitas==
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función f(x) presenta una '''rama infinita''' si ocurre uno de los dos casos siguientes:
-#<math>f(x)\;</math> presenta una asintota.
-#<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)</math>, o bien, <math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)</math>.
-}}
-{{p}}
-|celda2=
-[[Imagen:rama2.gif|center|200px]]{{p}}<center>Ramas infinitas que no son asíntotas</center>
-}}
-{{p}}
-===Ramas infinitas cuando x tiene a infinito===
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio
 ==Ramas infinitas de las funciones racionales==
+{{Ramas infinitas de las funciones racionales}}
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio
 }}
 {{p}}
 ==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas==
+{{Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas}}
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio

Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Ramas infinitas

Asíntota

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Asíntota oblicua

Rama parabólica

Estudio de las asíntotas de una función

Ejercicios propuestos

Ramas infinitas de las funciones racionales

Ejercicios propuestos

Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Funciones trigonométricas

Funciones exponenciales

Funciones logartmicas

Ejercicios propuestos

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas