Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)
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- | #<math>f(x)\,</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math> cuando <math>x\;</math> tiende a un punto, por la derecha o por la izquierda. | + | |
- | #<math>f(x)\,</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math> cuando <math>x\;</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>. | + | |
- | #<math>f(x)\,</math> tiende a un número real cuando <math>x\;</math> tiende a <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>. | + | |
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- | {{Caja_Amarilla|texto=Cuando la rama infinita se aproxima a una recta, ésta recibe el nombre de '''asíntota''' de la función.}} | + | |
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- | ==Ramas infinitas== | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto=Las '''asíntotas''' son rectas hacias que se acerca la gráfica de una recta, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto o a <math>+ \infty</math> o a <math>-\infty</math>.}} | ||
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- | ===Asíntotas verticales=== | ||
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- | {{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta en <math>x=a\;</math> una '''asíntota vertical''' (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas: | ||
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- | :<math>\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)</math> | ||
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- | La gráfica de la función se acerca a la recta <math>x=a\;</math> (asíntota vertical), al aproximarse la variable <math>x\;</math> al punto <math>x=a\;</math>. | ||
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- | ===Asíntotas horizontales=== | ||
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- | {{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota horizontal''' (A.H.) en <math>y=a\;</math> si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas: | ||
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- | :<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= a</math> | ||
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- | :<math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= a</math> | ||
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- | ===Asíntotas oblicuas=== | ||
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- | {{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota oblicua''' (A.O.) en <math>y=mx+n\;</math> si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas: | ||
- | |||
- | :<math>\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math> | ||
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- | :<math>\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math> | ||
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- | Para calcular los coeficientes <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de la asíntota, se procederá de la siguiente manera: | ||
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- | :<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}</math> {{b4}}(o con <math>x \to -\infty</math>) | ||
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- | :<math>n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]</math> {{b4}}(o con <math>x \to -\infty</math>) | ||
- | }} | ||
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- | [[Imagen:oblicua.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota oblicua: y = 2x + 6</center> | ||
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- | ==Ramas infinitas== | ||
- | {{Tabla75|celda1= | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto=Una función f(x) presenta una '''rama infinita''' si ocurre uno de los dos casos siguientes: | ||
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- | #<math>f(x)\;</math> presenta una asintota. | ||
- | #<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)</math>, o bien, <math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)</math>. | ||
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- | [[Imagen:rama2.gif|center|200px]]{{p}}<center>Ramas infinitas que no son asíntotas</center> | ||
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- | {{p}} | ||
- | ===Ramas infinitas cuando x tiene a infinito=== | ||
===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
{{ejercicio | {{ejercicio | ||
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==Ramas infinitas de las funciones racionales== | ==Ramas infinitas de las funciones racionales== | ||
+ | {{Ramas infinitas de las funciones racionales}} | ||
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===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
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==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas== | ==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas== | ||
+ | {{Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas}} | ||
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===Ejercicios propuestos=== | ===Ejercicios propuestos=== | ||
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Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
Ramas infinitas
Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.
Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.
Asíntota
Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a o a
.
Hay tres tipos:
- Asíntota vertical (A.V.)
- Asíntota horizontal (A.H.)
- Asíntota oblicua (A.O.)
Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.
Asíntota vertical
Una función Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. | Asíntota vertical: x = 2
|
Asíntota horizontal
Una función ![]() o bien, ![]() Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. | Asíntota horizontal: y = 1
|
Asíntota oblicua
Una función ![]() o bien, ![]() Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. Para calcular los coeficientes
| Asíntota oblicua: y = x + 3
|
Rama parabólica
Una función ![]() o bien, ![]() | Ramas parabólicas
|
Estudio de las asíntotas de una función
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas |
Ramas infinitas de las funciones racionales
Proposición
Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

La función (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:
- Asíntotas verticales:
- Si
es una raíz de Q(x), entonces la recta
es una asíntota vertical de
.
- Si
- Asíntotas horizontales:
- Si
, entonces la recta
es una asíntota horizontal de
, tanto por
, como por
.
- Si
, entonces la recta
es una asíntota horizontal de
, tanto por
, como por
.
- Si
- Asíntotas oblicuas:
- Si
,
tienen una asíntota oblicua, tanto por
, como por
. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre
y
.
- Si
- Ramas parabólicas:
- Si
, entonces
tiene una rama parabólica, tanto por
, como por
.
- Si
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales |
Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
Funciones trigonométricas
Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:
Propiedades
- Las funciones
,
e
, por ser periódicas, no tienen límite cuando
ni cuando
. Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.
- La función
, tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos

Funciones exponenciales
Si recordamos las propiedades de las funciones exponenciales, tenemos:
Propiedades
La función tiene:
- Asíntota horizontal:
- En
para
si
- En
- En
para
si
- En
- Rama parabólica:
- Para
si
- Para
- Para
si
- Para
- Asíntota vertical: No tiene, pués es continua en toda la recta real.
Funciones logartmicas
Si recordamos las propiedades de las funciones logarítmicas, tenemos:
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas |