Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Ramas infinitas
- 1.1 Asíntota
- 1.2 Rama parabólica
2 Estudio de las asíntotas de una función
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Ramas infinitas de las funciones racionales
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

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Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

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Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a $+ \infty$ o a $-\infty$ .

Hay tres tipos:

Asíntota vertical (A.V.)
Asíntota horizontal (A.H.)
Asíntota oblicua (A.O.)

Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.

Asíntotas (5'34") Sinopsis:

Asíntotas. Tipos.

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Asíntota vertical

Una función $f(x)\;$ presenta en $x=a\;$ una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo:

Veamos cómo la función $f(x)=\cfrac{x^2}{x-2}$ presenta una A.V. en $x=2\;$

En efecto,

$\lim_{x \to 2^-} \cfrac{x^2}{x-2}= -\infty$

$\lim_{x \to 2^+} \cfrac{x^2}{x-2}= +\infty$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota vertical: x = 2

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Asíntota horizontal

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota horizontal (A.H.) en $y=a\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= a$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= a$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}$ presenta una A.H. en $y=1\;$

En efecto,

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

$\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota horizontal: y = 1

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Asíntota oblicua

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota oblicua (A.O.) en $y=mx+n\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Para calcular los coeficientes $m\;$ y $n\;$ de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

$n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}$ presenta una A.O. en $y=x+3\;$

En efecto, sea $y=mx+n\;$ la A.O., entonces:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}=1$

$n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2+1}{x-3}-x \right]= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3$

Para $x \to -\infty$ se obtendrían los mismo valores.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota oblicua: y = x + 3

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Rama parabólica

Una función $f(x)\;$ presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

Ramas parabólicas

Ejemplo:

Las funciones exponenciales, las polinómicas de grado mayor que 1, las logarítmicas y las irracionales tienen ramas parabólicas. Las dos primeras tienen un crecimiento/decrecimiento más rápido que las dos últimas.

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Estudio de las asíntotas de una función

Tutorial 1 (15'24") Sinopsis:

Asíntotas. Conceptos básicos. Ejemplos.

Tutorial 2a (A.V.) (9'04") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas verticales de una función.

Tutorial 2b (A.H.) (9'03") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas horizontales de una función.

Tutorial 2c (A.O.) (7'42") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional (Introducción).

Tutorial 2d (A.O.) (7'32") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional.

Tutorial 2e (A.O.) (8'05") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función no racional.

Ejemplos (30'17") Sinopsis:

Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

$\cfrac{x}{x^2-4}\;$
$\cfrac{3x^2}{x^2+9}\;$
$\cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}\;$
$\cfrac{x^3-2}{2x+1}\;$
$\cfrac{x^3-4x}{x+2}\;$

Tendencia de una función

Actividad: Tendencia de una función

a) Averigua la tendencia de la función $f(x)=\cfrac{1}{x}\;$ . cuando $x\;$ se hace infinitamente grande.

b) Observa lo que ocurre en el apartado anterior dibujando la función desde x=0 a x=100000.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) limit x to +oo 1/x

b) plot 1/x {x,0,100000}

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas

(Pág. 287)

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Ramas infinitas de las funciones racionales

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

$f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

La función $f(x)\;$ (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:

Asíntotas verticales:
- Si $x=c\;$ es una raíz de Q(x), entonces la recta $x=c\;$ es una asíntota vertical de $f(x)\;$ .

Asíntotas horizontales:
- Si $n<m\;$ , entonces la recta $y=0\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .
- Si $n=m\;$ , entonces la recta $y=\cfrac{a_n}{b_n}\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Asíntotas oblicuas:
- Si $n-m=1\;$ , $f(x)\;$ tienen una asíntota oblicua, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ . Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ .

Ramas parabólicas:
- Si $n-m>1\;$ , entonces $f(x)\;$ tiene una rama parabólica, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Ramas infinitas de funciones racionales

Ejercicio 1 (11'35") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de la función $f(x)= \cfrac{x^3-3}{x^2-9}$

Ejercicio 2 (16'19") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de la función $f(x)= \cfrac{x^3+8}{x^2-4}$

Ejercicio 3 (30'17") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de las funciones:

$f(x)= \cfrac{x}{x^2-4}$
$f(x)= \cfrac{3x^2}{x^2+9}$
$f(x)= \cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}$
$f(x)= \cfrac{x^3-2}{2x+1}$
$f(x)= \cfrac{x^3-4x}{x+2}$

Ejercicio 4 (24'03") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de las funciones:

$f(x)= \cfrac{4x}{x^2+1}$
$f(x)= \cfrac{x^3}{x^2-1}$

Ejercicio 6 (16'32") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas de $f(x)= \cfrac{x^2}{x-1}$ . Hace un estudio detallado de la posición relativa de la curva respecto de la asíntota oblicua usando el método riguroso de límites.

Ejercicio 7 (Lista de reproducción) Sinopsis:

Lista de reproducción que consta de 12 vídeos sobre estudio de asíntotas de funciones racionales.

Ejercicios resueltos

Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) $y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}$ b) $y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}$ c) $y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}$

Solución:

a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1

b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3

c) A.V.: x=3; R.I.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales

(Pág. 289)

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Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

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Funciones trigonométricas

Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:

Propiedades

Las funciones $y=sen x\;$ , $y=cos x\;$ e $y=tg x\;$ , por ser periódicas, no tienen límite cuando $x \to +\infty$ ni cuando $x \to -\infty$ . Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.

La función $y=tg x\;$ , tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos

$\left \{ x= \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$

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Funciones exponenciales

Si recordamos las propiedades de las funciones exponenciales, tenemos:

Propiedades

La función $y=a^x\;$ tiene:

Asíntota horizontal:

En $y=0\;$ para $x \to +\infty$ si $a>1\;$

En $y=0\;$ para $x \to +\infty$ si $0<a<1\;$

Rama parabólica:

Para $x \to +\infty$ si $a>1\;$

Para $x \to -\infty$ si $0<a<1\;$

Asíntota vertical: No tiene, pués es continua en toda la recta real.

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Funciones logartmicas

Si recordamos las propiedades de las funciones logarítmicas, tenemos:

Propiedades

La función $y=log_a \, x\;$ tiene:

Asíntota vertical:

En $x=0\;$ , cuando $x \to 0^+$ .

Rama parabólica:

Para $x \to +\infty$

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

(Pág. 290)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ramas_infinitas._As%C3%ADntotas_%281%C2%BABach%29"

 ==Ramas infinitas==
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función presenta una '''rama infinita''' si presenta una '''asíntota''' o una '''rama parabólica'''.}}
+{{Ramas infinitas. Asíntotas}}
-{{p}}
-Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.
-{{p}}
-===Asíntota===
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''asíntota''' es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a <math>+ \infty</math> o a <math>-\infty</math>.
-Hay tres tipos:
-*Asíntota vertical (A.V.)
-*Asíntota horizontal (A.H.)
-*Asíntota oblicua (A.O.)
-}}
-{{p}}
-====Asíntota vertical====
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta en <math>x=a\;</math> una '''asíntota vertical''' (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:
-:<math>\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)</math>
-:<math>\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)</math>
-----
-'''Nota:''' Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>f(x)=\cfrac{x^2}{x-2}</math> presenta una A.V. en <math>x=1\;</math>
-En efecto,
-:<math>\lim_{x \to 2^-} \cfrac{x^2}{x-2}= -\infty</math>
-:<math>\lim_{x \to 2^+} \cfrac{x^2}{x-2}= +\infty</math>
-----
-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
-{{p}}
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]
-}}
-}}
-|celda2=
-[[Imagen:rama1.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota vertical: x = 2</center>
-}}
-{{p}}
-====Asíntota horizontal====
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota horizontal''' (A.H.) en <math>y=a\;</math> si:
-<center><math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= a</math></center>
-o bien,
- <center><math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= a</math></center>
-----
-'''Nota:''' Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>g(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}</math> presenta una A.H. en <math>y=1\;</math>
-En efecto,
-:<math>\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1</math>
-:<math>\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1</math>
-----
-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
-{{p}}
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]
-}}
-}}
-|celda2=[[Imagen:rama3.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota horizontal: y = 1</center>
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-{{p}}
-====Asíntota oblicua====
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota oblicua''' (A.O.) en <math>y=mx+n\;</math> si:
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-o bien,
-<center><math>\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math></center>
-----
-'''Nota:''' Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.
-----
-Para calcular los coeficientes <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:
-:<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}</math> {{b4}}(o bien, con <math>x \to -\infty</math>)
-:<math>n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]</math> {{b4}}(o bien, con <math>x \to -\infty</math>)
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}</math> presenta una A.O. en <math>y=x+3\;</math>
-En efecto, sea <math>y=mx+n\;</math> la A.O., entonces:
-:<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}=1</math>
-:<math>n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2+1}{x-3}-x \right]= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3</math>
-Para <math>x \to -\infty</math> se obtendrían los mismo valores.
-----
-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
-{{p}}
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]
-}}
-}}
-|celda2=
-[[Imagen:oblicua.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota oblicua: y = x + 3</center>
-}}
-{{p}}
-===Rama parabólica===
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''rama parabólica''' si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:
-<center><math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)</math></center>
-o bien,
-<center><math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)</math></center>
-}}
-{{p}}
-|celda2=
-[[Imagen:rama2.gif|center|200px]]{{p}}<center>Ramas parabólicas</center>
-{{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Las funciones exponenciales, las polinómicas de grado mayor que 1, las logarítmicas y las irracionales tienen ramas parabólicas. Las dos primeras tienen un crecimiento/decrecimiento más rápido que las dos últimas.}}
-}}
 ===Ejercicios propuestos===
 ==Ramas infinitas de las funciones racionales==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:
+{{Ramas infinitas de las funciones racionales}}
-{{p}}
-<center><math>f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center>
-{{p}}
-La función <math>f(x)\;</math> tiene las siguientes ramas infinitas:
-*'''ASÍNTOTAS VERTICALES:'''
-**Si <math>x=c\;</math> es una raíz de Q(x), entonces la recta <math>x=c\;</math> es una asíntota vertical de <math>f(x)\;</math>.
-{{p}}
-*'''ASÍNTOTAS HORIZONTALES:'''
-**Si <math>n<m\;</math>, entonces la recta <math>y=0\;</math> es una asíntota horizontal de <math>f(x)\;</math>, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>.
-**Si <math>n=m\;</math>, entonces la recta <math>y=\cfrac{a_n}{b_n}\;</math> es una asíntota horizontal de <math>f(x)\;</math>, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>.
-{{p}}
-*'''ASÍNTOTAS OBLICUAS:'''
-**Si <math>n-m=1\;</math>, <math>f(x)\;</math> tienen  una asíntota oblicua, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre <math>P(x)\;</math> y <math>Q(x)\;</math>.
-{{p}}
-*'''RAMAS PARABÓLICAS:'''
-**Si <math>n-m>1\;</math>, entonces <math>f(x)\;</math> tiene una rama parabólica, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>.
-}}
-{{p}}
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio
 ==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas==
-===Funciones trigonométricas===
+{{Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas}}
-===Funciones exponenciales===
-===Funciones logartmicas===
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio

Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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Ramas infinitas

Asíntota

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Asíntota oblicua

Rama parabólica

Estudio de las asíntotas de una función

Ejercicios propuestos

Ramas infinitas de las funciones racionales

Ejercicios propuestos

Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Funciones trigonométricas

Funciones exponenciales

Funciones logartmicas

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