Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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==Ramas infinitas== ==Ramas infinitas==
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función presenta una '''rama infinita''' si presenta una '''asíntota''' o una '''rama parabólica'''.}}+{{Ramas infinitas. Asíntotas}}
-{{p}}+
-Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.+
-{{p}}+
-===Asíntota===+
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''asíntota''' es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a <math>+ \infty</math> o a <math>-\infty</math>.+
- +
-Hay tres tipos:+
- +
-*Asíntota vertical (A.V.)+
-*Asíntota horizontal (A.H.)+
-*Asíntota oblicua (A.O.)+
-}}+
-{{p}}+
-====Asíntota vertical====+
-{{Tabla75|celda1=+
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta en <math>x=a\;</math> una '''asíntota vertical''' (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:+
- +
-:<math>\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)</math>+
- +
-:<math>\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)</math>+
-----+
-'''Nota:''' Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>f(x)=\cfrac{x^2}{x-2}</math> presenta una A.V. en <math>x=1\;</math>+
- +
-En efecto,+
- +
-:<math>\lim_{x \to 2^-} \cfrac{x^2}{x-2}= -\infty</math>+
-:<math>\lim_{x \to 2^+} \cfrac{x^2}{x-2}= +\infty</math>+
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-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:+
- +
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.+
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]+
-}}+
-}}+
-|celda2=+
-[[Imagen:rama1.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota vertical: x = 2</center>+
-}}+
-{{p}}+
- +
-====Asíntota horizontal====+
-{{Tabla75|celda1=+
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota horizontal''' (A.H.) en <math>y=a\;</math> si:+
- +
-<center><math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= a</math></center>+
- +
-o bien,+
- +
- <center><math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= a</math></center>+
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-'''Nota:''' Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.+
-}}+
- +
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>g(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}</math> presenta una A.H. en <math>y=1\;</math>+
- +
-En efecto,+
- +
-:<math>\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1</math>+
-:<math>\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1</math>+
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-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:+
- +
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.+
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]+
-}}+
-}}+
-|celda2=[[Imagen:rama3.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota horizontal: y = 1</center>+
-}}+
-{{p}}+
- +
-====Asíntota oblicua====+
-{{Tabla75|celda1=+
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''asíntota oblicua''' (A.O.) en <math>y=mx+n\;</math> si:+
- +
-<center><math>\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math></center>+
- +
-o bien,+
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-<center><math>\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0</math></center> +
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-'''Nota:''' Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas. +
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-Para calcular los coeficientes <math>m\;</math> y <math>n\;</math> de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:+
- +
-:<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}</math> {{b4}}(o bien, con <math>x \to -\infty</math>)+
- +
-:<math>n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]</math> {{b4}}(o bien, con <math>x \to -\infty</math>)+
-}}+
- +
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}</math> presenta una A.O. en <math>y=x+3\;</math>+
- +
-En efecto, sea <math>y=mx+n\;</math> la A.O., entonces:+
- +
-:<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}=1</math>+
- +
-:<math>n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2+1}{x-3}-x \right]= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3</math>+
- +
-Para <math>x \to -\infty</math> se obtendrían los mismo valores.+
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-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:+
- +
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.+
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]+
-}}+
-}}+
-|celda2=+
-[[Imagen:oblicua.png|center|250px]]{{p}}<center>Asíntota oblicua: y = x + 3</center>+
-}}+
-{{p}}+
-===Rama parabólica===+
-{{Tabla75|celda1=+
-{{Caja_Amarilla|texto=Una función <math>f(x)\;</math> presenta una '''rama parabólica''' si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:+
- +
-<center><math>\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)</math></center>+
- +
-o bien, +
- +
-<center><math>\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)</math></center>+
-}}+
- +
-{{p}}+
-|celda2=+
-[[Imagen:rama2.gif|center|200px]]{{p}}<center>Ramas parabólicas</center>+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Las funciones exponenciales, las polinómicas de grado mayor que 1, las logarítmicas y las irracionales tienen ramas parabólicas. Las dos primeras tienen un crecimiento/decrecimiento más rápido que las dos últimas.}}+
-}}+
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
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==Ramas infinitas de las funciones racionales== ==Ramas infinitas de las funciones racionales==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:+{{Ramas infinitas de las funciones racionales}}
-{{p}}+
-<center><math>f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center>+
-{{p}}+
-La función <math>f(x)\;</math> tiene las siguientes ramas infinitas:+
-*'''Asíntotas verticales:''' 
-**Si <math>x=c\;</math> es una raíz de Q(x), entonces la recta <math>x=c\;</math> es una asíntota vertical de <math>f(x)\;</math>. 
-{{p}} 
-*'''Asíntotas horizontales:'''  
-**Si <math>n<m\;</math>, entonces la recta <math>y=0\;</math> es una asíntota horizontal de <math>f(x)\;</math>, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>. 
-**Si <math>n=m\;</math>, entonces la recta <math>y=\cfrac{a_n}{b_n}\;</math> es una asíntota horizontal de <math>f(x)\;</math>, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>. 
-{{p}} 
-*'''Asíntotas oblicuas:'''  
-**Si <math>n-m=1\;</math>, <math>f(x)\;</math> tienen una asíntota oblicua, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre <math>P(x)\;</math> y <math>Q(x)\;</math>. 
-{{p}} 
-*'''Ramas parabólicas:'''  
-**Si <math>n-m>1\;</math>, entonces <math>f(x)\;</math> tiene una rama parabólica, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>. 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_unicoos 
-|titulo1=Ejemplo 1: Ramas infinitas de las funciones racionales 
-|duracion=6'38" 
-|sinopsis=Estudio de las ramas infinitas de la función <math>y=\cfrac{x+1}{x-1}</math>. 
-|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/representacion-de-funciones/trazado-de-funciones/representacion-de-una-funcion-02 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_unicoos 
-|titulo1=Ejemplo 2: Ramas infinitas de las funciones racionales 
-|duracion=4'38" 
-|sinopsis=Estudio de las ramas infinitas de la función <math>y=\cfrac{-2x}{(x^2+1)^2}</math>. 
-|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/representacion-de-funciones/asintotas/asintotas-y-representacion-de-una-funcion 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace_unicoos 
-|titulo1=Ejemplo 3: Ramas infinitas de las funciones racionales 
-|duracion=10'44" 
-|sinopsis=Estudio de las ramas infinitas de la función <math>y=\cfrac{x^3+8}{x^2-4}</math>. (Caso con discontinuidad evitable) 
-|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/2-bachiller/representacion-de-funciones/asintotas/discontinuidad-evitable 
-}} 
-{{p}} 
-{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos|enunciado=Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones: 
-{{p}} 
-:a) <math>y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}</math> 
-|sol= 
-a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1  
- 
-b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3  
- 
-c) A.V.: x=3; R.I.  
- 
----- 
-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones: 
- 
-{{p}} 
-{{Geogebra_enlace 
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos. 
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones] 
-}} 
-}} 
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio
Línea 222: Línea 28:
==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas== ==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas==
-===Funciones trigonométricas===+{{Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas}}
-Si recordamos las [[Funciones trigonométricas o circulares (1ºBach)#Funciones trigonométricas|propiedades de las funciones trigonométricas]], tenemos:+
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado= 
-*Las funciones <math>y=sen x\;</math>, <math>y=cos x\;</math> e <math>y=tg x\;</math>, por ser periódicas, no tienen límite cuando <math>x \to +\infty</math> ni cuando <math>x \to -\infty</math>. Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales. 
- 
-*La función <math>y=tg x\;</math>, tiene infinitas '''asíntotas verticales''' en los puntos 
- 
-<center><math>\left \{ x= \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math></center> 
-}} 
-{{p}} 
- 
-===Funciones exponenciales=== 
-Si recordamos las [[Familias de funciones elementales (1ºBach)#Funciones exponenciales|propiedades de las funciones exponenciales]], tenemos: 
- 
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado= La función <math>y=a^x\;</math> tiene: 
- 
-*'''Asíntota horizontal:''' 
- 
-:*En <math>y=0\;</math> para <math>x \to +\infty</math> si <math>a>1\;</math> 
- 
-:*En <math>y=0\;</math> para <math>x \to +\infty</math> si <math>0<a<1\;</math> 
- 
-*'''Rama parabólica:''' 
- 
-:*Para <math>x \to +\infty</math> si <math>a>1\;</math> 
- 
-:*Para <math>x \to -\infty</math> si <math>0<a<1\;</math> 
- 
-*'''Asíntota vertical''': No tiene, pués es continua en toda la recta real. 
-}} 
-{{p}} 
-===Funciones logartmicas=== 
-Si recordamos las [[Familias de funciones elementales (1ºBach)#Funciones logarítmicas|propiedades de las funciones logarítmicas]], tenemos: 
- 
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado= La función <math>y=log_a \, x\;</math> tiene: 
- 
-*'''Asíntota vertical:'''  
- 
-:*En <math>x=0\;</math>, cuando <math>x \to 0^+</math>. 
- 
-*'''Rama parabólica:''' 
- 
-:*Para <math>x \to +\infty</math> 
-}} 
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]
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Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

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Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a + \infty o a -\infty.

Hay tres tipos:

  • Asíntota vertical (A.V.)
  • Asíntota horizontal (A.H.)
  • Asíntota oblicua (A.O.)

Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.

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Asíntota vertical

Una función f(x)\; presenta en x=a\; una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)
\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Asíntota vertical: x = 2

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Asíntota horizontal

Una función f(x)\; presenta una asíntota horizontal (A.H.) en y=a\; si:

\lim_{x \to +\infty} f(x)= a

o bien,

\lim_{x \to -\infty} f(x)= a

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Asíntota horizontal: y = 1

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Asíntota oblicua

Una función f(x)\; presenta una asíntota oblicua (A.O.) en y=mx+n\; si:

\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0

o bien,

\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Para calcular los coeficientes m\; y n\; de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}     (o bien, con x \to -\infty)
n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]     (o bien, con x \to -\infty)

Asíntota oblicua: y = x + 3

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Rama parabólica

Una función f(x)\; presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)

o bien,

\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)

Ramas parabólicas

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Estudio de las asíntotas de una función

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas

(Pág. 287)

1

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Ramas infinitas de las funciones racionales

ejercicio

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

La función f(x)\; (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:

  • Asíntotas verticales:
    • Si x=c\; es una raíz de Q(x), entonces la recta x=c\; es una asíntota vertical de f(x)\;.

  • Asíntotas horizontales:
    • Si n<m\;, entonces la recta y=0\; es una asíntota horizontal de f(x)\;, tanto por + \infty, como por - \infty.
    • Si n=m\;, entonces la recta y=\cfrac{a_n}{b_n}\; es una asíntota horizontal de f(x)\;, tanto por + \infty, como por - \infty.

  • Asíntotas oblicuas:
    • Si n-m=1\;, f(x)\; tienen una asíntota oblicua, tanto por + \infty, como por - \infty. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre P(x)\; y Q(x)\;.

  • Ramas parabólicas:
    • Si n-m>1\;, entonces f(x)\; tiene una rama parabólica, tanto por + \infty, como por - \infty.

ejercicio

Ejercicios resueltos

Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}        b) y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}        c) y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}
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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales

(Pág. 289)

1

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Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

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Funciones trigonométricas

Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:

ejercicio

Propiedades

  • Las funciones y=sen x\;, y=cos x\; e y=tg x\;, por ser periódicas, no tienen límite cuando x \to +\infty ni cuando x \to -\infty. Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.
  • La función y=tg x\;, tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos
\left \{ x= \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}

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Funciones exponenciales

Si recordamos las propiedades de las funciones exponenciales, tenemos:

ejercicio

Propiedades

La función y=a^x\; tiene:

  • Asíntota horizontal:
  • En y=0\; para x \to +\infty si a>1\;
  • En y=0\; para x \to +\infty si 0<a<1\;
  • Rama parabólica:
  • Para x \to +\infty si a>1\;
  • Para x \to -\infty si 0<a<1\;
  • Asíntota vertical: No tiene, pués es continua en toda la recta real.

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Funciones logartmicas

Si recordamos las propiedades de las funciones logarítmicas, tenemos:

ejercicio

Propiedades

La función y=log_a \, x\; tiene:

  • Asíntota vertical:
  • En x=0\;, cuando x \to 0^+.
  • Rama parabólica:
  • Para x \to +\infty


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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

(Pág. 290)

1

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