Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Ramas infinitas
- 1.1 Asíntota
- 1.2 Rama parabólica
2 Estudio de las asíntotas de una función
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Ramas infinitas de las funciones racionales
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

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Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

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Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a $+ \infty$ o a $-\infty$ .

Hay tres tipos:

Asíntota vertical (A.V.)
Asíntota horizontal (A.H.)
Asíntota oblicua (A.O.)

Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.

Asíntotas (5'34") Sinopsis:

Asíntotas. Tipos.

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Asíntota vertical

Una función $f(x)\;$ presenta en $x=a\;$ una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo:

Veamos cómo la función $f(x)=\cfrac{x^2}{x-2}$ presenta una A.V. en $x=2\;$

En efecto,

$\lim_{x \to 2^-} \cfrac{x^2}{x-2}= -\infty$

$\lim_{x \to 2^+} \cfrac{x^2}{x-2}= +\infty$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota vertical: x = 2

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Asíntota horizontal

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota horizontal (A.H.) en $y=a\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= a$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= a$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2}{x^2+1}$ presenta una A.H. en $y=1\;$

En efecto,

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

$\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2}{x^2}= 1$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota horizontal: y = 1

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Asíntota oblicua

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota oblicua (A.O.) en $y=mx+n\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Para calcular los coeficientes $m\;$ y $n\;$ de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

$n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

Ejemplo:

Veamos cómo la función $g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}$ presenta una A.O. en $y=x+3\;$

En efecto, sea $y=mx+n\;$ la A.O., entonces:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2}=1$

$n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2+1}{x-3}-x \right]= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3$

Para $x \to -\infty$ se obtendrían los mismo valores.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Asíntota oblicua: y = x + 3

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Rama parabólica

Una función $f(x)\;$ presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

Ramas parabólicas

Ejemplo:

Las funciones exponenciales, las polinómicas de grado mayor que 1, las logarítmicas y las irracionales tienen ramas parabólicas. Las dos primeras tienen un crecimiento/decrecimiento más rápido que las dos últimas.

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Estudio de las asíntotas de una función

Tutorial 1 (15'24") Sinopsis:

Asíntotas. Conceptos básicos. Ejemplos.

Tutorial 2a (A.V.) (9'04") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas verticales de una función.

Tutorial 2b (A.H.) (9'03") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas horizontales de una función.

Tutorial 2c (A.O.) (7'42") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional (Introducción).

Tutorial 2d (A.O.) (7'32") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función racional.

Tutorial 2e (A.O.) (8'05") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas oblicuas de una función no racional.

Ejemplos (30'17") Sinopsis:

Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

$\cfrac{x}{x^2-4}\;$
$\cfrac{3x^2}{x^2+9}\;$
$\cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}\;$
$\cfrac{x^3-2}{2x+1}\;$
$\cfrac{x^3-4x}{x+2}\;$

Tendencia de una función

Actividad: Tendencia de una función

a) Averigua la tendencia de la función $f(x)=\cfrac{1}{x}\;$ . cuando $x\;$ se hace infinitamente grande.

b) Observa lo que ocurre en el apartado anterior dibujando la función desde x=0 a x=100000.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) limit x to +oo 1/x

b) plot 1/x {x,0,100000}

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas

(Pág. 287)

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Ramas infinitas de las funciones racionales

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

$f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

La función $f(x)\;$ (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:

Asíntotas verticales:
- Si $x=c\;$ es una raíz de Q(x), entonces la recta $x=c\;$ es una asíntota vertical de $f(x)\;$ .

Asíntotas horizontales:
- Si $n<m\;$ , entonces la recta $y=0\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .
- Si $n=m\;$ , entonces la recta $y=\cfrac{a_n}{b_n}\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Asíntotas oblicuas:
- Si $n-m=1\;$ , $f(x)\;$ tienen una asíntota oblicua, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ . Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ .

Ramas parabólicas:
- Si $n-m>1\;$ , entonces $f(x)\;$ tiene una rama parabólica, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Ramas infinitas de funciones racionales

Ejercicio 1 (11'35") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de la función $f(x)= \cfrac{x^3-3}{x^2-9}$

Ejercicio 2 (16'19") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de la función $f(x)= \cfrac{x^3+8}{x^2-4}$

Ejercicio 3 (30'17") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de las funciones:

$f(x)= \cfrac{x}{x^2-4}$
$f(x)= \cfrac{3x^2}{x^2+9}$
$f(x)= \cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}$
$f(x)= \cfrac{x^3-2}{2x+1}$
$f(x)= \cfrac{x^3-4x}{x+2}$

Ejercicio 4 (24'03") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de las funciones:

$f(x)= \cfrac{4x}{x^2+1}$
$f(x)= \cfrac{x^3}{x^2-1}$

Ejercicio 6 (16'32") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas de $f(x)= \cfrac{x^2}{x-1}$ . Hace un estudio detallado de la posición relativa de la curva respecto de la asíntota oblicua usando el método riguroso de límites.

Ejercicio 7 (Lista de reproducción) Sinopsis:

Lista de reproducción que consta de 12 vídeos sobre estudio de asíntotas de funciones racionales.

Ejercicios resueltos

Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) $y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}$ b) $y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}$ c) $y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}$

Solución:

a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1

b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3

c) A.V.: x=3; R.I.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales

(Pág. 289)

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Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

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Funciones trigonométricas

Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:

Propiedades

Las funciones $y=sen x\;$ , $y=cos x\;$ e $y=tg x\;$ , por ser periódicas, no tienen límite cuando $x \to +\infty$ ni cuando $x \to -\infty$ . Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.

La función $y=tg x\;$ , tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos

$\left \{ x= \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$

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Funciones exponenciales

Si recordamos las propiedades de las funciones exponenciales, tenemos:

Propiedades

La función $y=a^x\;$ tiene:

Asíntota horizontal:

En $y=0\;$ para $x \to +\infty$ si $a>1\;$

En $y=0\;$ para $x \to +\infty$ si $0<a<1\;$

Rama parabólica:

Para $x \to +\infty$ si $a>1\;$

Para $x \to -\infty$ si $0<a<1\;$

Asíntota vertical: No tiene, pués es continua en toda la recta real.

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Funciones logartmicas

Si recordamos las propiedades de las funciones logarítmicas, tenemos:

Propiedades

La función $y=log_a \, x\;$ tiene:

Asíntota vertical:

En $x=0\;$ , cuando $x \to 0^+$ .

Rama parabólica:

Para $x \to +\infty$

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

(Pág. 290)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ramas_infinitas._As%C3%ADntotas_%281%C2%BABach%29"

 ==Ramas infinitas de las funciones racionales==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:
+{{Ramas infinitas de las funciones racionales}}
-{{p}}
-<center><math>f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center>
-{{p}}
-La función <math>f(x)\;</math> tiene las siguientes ramas infinitas:
-*'''Asíntotas verticales:'''
-**Si <math>x=c\;</math> es una raíz de Q(x), entonces la recta <math>x=c\;</math> es una asíntota vertical de <math>f(x)\;</math>.
-{{p}}
-*'''Asíntotas horizontales:'''
-**Si <math>n<m\;</math>, entonces la recta <math>y=0\;</math> es una asíntota horizontal de <math>f(x)\;</math>, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>.
-**Si <math>n=m\;</math>, entonces la recta <math>y=\cfrac{a_n}{b_n}\;</math> es una asíntota horizontal de <math>f(x)\;</math>, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>.
-{{p}}
-*'''Asíntotas oblicuas:'''
-**Si <math>n-m=1\;</math>, <math>f(x)\;</math> tienen  una asíntota oblicua, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre <math>P(x)\;</math> y <math>Q(x)\;</math>.
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-*'''Ramas parabólicas:'''
-**Si <math>n-m>1\;</math>, entonces <math>f(x)\;</math> tiene una rama parabólica, tanto por <math>+ \infty</math>, como por <math>- \infty</math>.
-}}
-{{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ramas infinitas de funciones racionales|enunciado=
-{{Video_enlace_unicoos
-|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=6'38"
-|sinopsis=Estudio de las ramas infinitas de la función <math>y=\cfrac{x+1}{x-1}</math>.
-|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/representacion-de-funciones/trazado-de-funciones/representacion-de-una-funcion-02
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace_unicoos
-|titulo1=Ejercicio 2
-|duracion=4'38"
-|sinopsis=Estudio de las ramas infinitas de la función <math>y=\cfrac{-2x}{(x^2+1)^2}</math>.
-|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/representacion-de-funciones/asintotas/asintotas-y-representacion-de-una-funcion
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace_unicoos
-|titulo1=Ejercicio 3
-|duracion=10'44"
-|sinopsis=Estudio de las ramas infinitas de la función <math>y=\cfrac{x^3+8}{x^2-4}</math>. (Caso con discontinuidad evitable)
-|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/2-bachiller/representacion-de-funciones/asintotas/discontinuidad-evitable
-}}
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos|enunciado=Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:
-{{p}}
-:a) <math>y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}</math>
-|sol=
-a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1
-b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3
-c) A.V.: x=3; R.I.
-----
-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:
-{{p}}
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]
-}}
-}}
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio
 ==Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas==
-===Funciones trigonométricas===
+{{Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas}}
-Si recordamos las [[Funciones trigonométricas o circulares (1ºBach)#Funciones trigonométricas|propiedades de las funciones trigonométricas]], tenemos:
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado=
-*Las funciones <math>y=sen x\;</math>, <math>y=cos x\;</math> e <math>y=tg x\;</math>, por ser periódicas, no tienen límite cuando <math>x \to +\infty</math> ni cuando <math>x \to -\infty</math>. Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.
-*La función <math>y=tg x\;</math>, tiene infinitas '''asíntotas verticales''' en los puntos
-<center><math>\left \{ x= \pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}</math></center>
-}}
-{{p}}
-===Funciones exponenciales===
-Si recordamos las [[Familias de funciones elementales (1ºBach)#Funciones exponenciales|propiedades de las funciones exponenciales]], tenemos:
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado= La función <math>y=a^x\;</math> tiene:
-*'''Asíntota horizontal:'''
-:*En <math>y=0\;</math> para <math>x \to +\infty</math> si <math>a>1\;</math>
-:*En <math>y=0\;</math> para <math>x \to +\infty</math> si <math>0<a<1\;</math>
-*'''Rama parabólica:'''
-:*Para <math>x \to +\infty</math> si <math>a>1\;</math>
-:*Para <math>x \to -\infty</math> si <math>0<a<1\;</math>
-*'''Asíntota vertical''': No tiene, pués es continua en toda la recta real.
-}}
-{{p}}
-===Funciones logartmicas===
-Si recordamos las [[Familias de funciones elementales (1ºBach)#Funciones logarítmicas|propiedades de las funciones logarítmicas]], tenemos:
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado= La función <math>y=log_a \, x\;</math> tiene:
-*'''Asíntota vertical:'''
-:*En <math>x=0\;</math>, cuando <math>x \to 0^+</math>.
-*'''Rama parabólica:'''
-:*Para <math>x \to +\infty</math>
-}}
 ===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio

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