Continuidad. Discontinuidades (2ºBach)
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+ | |sinopsis=Sea la función <math>f(x)=\cfrac{x-1}{x+2}</math>, que cumple que f(-3)=4 y f(-1)=-2, pero cuya gráfica no corta al eje de abscisas en el intervalo [-3,-1]. Razona si esto contradice el teorema de Bolzano. | ||
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]] |
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Tabla de contenidos[esconder] |
Continuidad de una función en un punto
Una función es continua en un punto
, si se cumple que:

Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:
- La función
tiene límite en
: Existe
- La función está definida en
: Existe
- Los dos valores anteriores coinciden:
Tipos de discontinuidades
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto
si existe
pero éste no coincide con
, bien porque
no esté definida en
o bien porque simplemente sean distintos.
Discontinuidad evitable
Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)
![]() ![]() | Evitable (punto desplazado que deja un hueco)
![]() ![]() |
Ejemplo: Discontinuidad evitable
Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:
- a)
b)
Discontinuidad esencial de primera especie
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto
si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

Nota: puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.
Salto finito (Salto=d-c)
![]() | Salto finito (Salto=d-c)
![]() |
Salto finito (Salto=d-c)
![]() | Salto finito (Salto=d-c)
![]() |
Ejemplo: Discontinuidad de salto finito
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.
Nota: puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.
Salto infinito
![]() | Salto infinito
![]() |
Salto infinito
![]() | Salto infinito
![]() |
Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.
Nota: puede estar definida o no.
Asintótica
![]() | Asintótica
![]() |
Asintótica
![]() | Asintótica
![]() |
Ejemplo: Discontinuidad asintótica
Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad asintótica:
- a)
b)
Discontinuidad esencial de segunda especie
Una función tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.
Nota: puede estar definida o no.
Segunda especie
![]() | Segunda especie
![]() | Segunda especie
![]() |
Ejemplo: Discontinuidad de segunda especie
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de segunda especie: