Plantilla:Operaciones con ángulos

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===Suma=== ===Suma===
-La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente ejemplo:+{{suma de ángulos}}
- +
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Suma en el sistema sexagesimal''+
-|enunciado=+
-:Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días? +
-|sol=+
-Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta: +
-<center><pre>+
- 2 h 48 min 35 s+
-+ 2 h 45 min 30 s+
- ___________________+
- 4 h 93 min 65 s+
-</pre></center>+
- +
-Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así: +
- +
-<center><pre>4 h 94 min 5 s</pre></center>+
- +
-De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es: +
- +
-<center><pre>5 h 34 min 5 s</pre></center>+
-}}+
-{{p}}+
- +
-Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.+
-{{p}}+
-{{AI_enlace|titulo1=Actividad Interactiva: ''Suma de ángulos''+
-|descripcion=Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos: +
- +
-:a) 56º 20' 40" + 37º 42' 15" +
- +
-:b) 125º 15' 30" + 24º 50' 40" +
- +
-:c) 33º 33' 33" + 17º 43' 34" +
-|url1=http://proyectodescartes.org/uudd/materiales_didacticos/Medicion_de_angulos-JS/angulo5.htm+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Resta=== ===Resta===
-Para restar tendremos en cuenta las mismas consideraciones que para sumar. Analicemos el siguiente ejemplo:+{{resta de ángulos}}
- +
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Resta en el sistema sexagesimal''+
-|enunciado=+
-:En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?+
-|sol=+
-Debemos hacer la siguiente operación: +
- +
-<center><pre>+
- 3 h 0 min 0 s +
-− 2 h 48 min 35 s +
- ___________________+
- +
-</pre></center>+
- +
-Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60". +
- +
-<center><pre>+
- 2 h 60 min 60 s +
-− 2 h 48 min 35 s +
- ___________________+
- 0 h 11 min 25 s +
-</pre></center>+
-}}+
- +
-{{p}}+
-{{AI_enlace|titulo1=Actividad Interactiva: ''Resta de ángulos''+
-|descripcion=Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos: +
- +
-:a) 56º 20' 40" - 37º 42' 15" +
- +
-:b) 125º 15' 30" - 24º 50' 40" +
- +
-:c) 33º 33' 33" - 17º 43' 34" +
-|url1=http://proyectodescartes.org/uudd/materiales_didacticos/Medicion_de_angulos-JS/angulo6.htm+
-}}+
-{{p}}+
- +
-{{AI_enlace|titulo1=Actividad Interactiva: ''Ángulos complementarios y suplementarios''+
-|descripcion=Calcula los ángulos complementario y suplementario de los siguientes:+
- +
-:a) 56º 20' 40"+
- +
-:b) 37º 42' 15"+
- +
-:c) 125º 15' 30"+
-|url1=http://proyectodescartes.org/uudd/materiales_didacticos/Medicion_de_angulos-JS/angulo9.htm+
-}}+
-{{p}}+
- +
-{{Video_enlace_julioprofe+
-|titulo1=Ejemplo 1+
-|duracion=3'45"+
-|sinopsis=¿Cuál es el complementario de 53º41'28"+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zIUtvfczPa8+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace_julioprofe+
-|titulo1=Ejemplo 2+
-|duracion=3'43"+
-|sinopsis=¿Cuál es el suplementario de 75º16'49"+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=UVxyZ0-8MDY+
-}}+
===Multiplicación por un número natural=== ===Multiplicación por un número natural===
-Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior. +{{multiplicación ángulos}}
- +
-Analicemos el siguiente ejemplo:+
- +
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Producto por un número en el sistema sexagesimal''+
-|enunciado=+
-:Multiplica 18º 26' 35" por 3.+
-|sol=+
-<center><pre>+
- 18º 26' 35" +
-x 3 +
- _______________+
- 54º 78' 105" +
-</pre></center>+
- +
-Pero 105" = 1' 45", luego +
- +
-<center><pre> 54º 79' 45" </pre></center>+
- +
-Pero 79' = 1º 19', luego +
- +
-<center><pre> 55º 19' 45" </pre></center>+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI_enlace|titulo1=Actividad Interactiva: ''Multiplición de ángulos por un número'' 
-|descripcion=Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos:  
-:a) 56º 20' 40" x 2  
- 
-:b) 37º 42' 15" x 4  
- 
-:c) 125º 15' 30" x 3  
-|url1=http://proyectodescartes.org/uudd/materiales_didacticos/Medicion_de_angulos-JS/angulo7.htm 
-}} 
-{{p}} 
===División por un número natural=== ===División por un número natural===
-Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.+{{división de ángulos}}
- +
-Analicemos el siguiente ejemplo:+
- +
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''División por un número en el sistema sexagesimal''+
-|enunciado=+
-:Divide 66º 45' 36" entre 4.+
-|sol=+
-<center>[[Imagen:division_angulos.gif]]</center>+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI_enlace|titulo1=Actividad Interactiva: ''División de ángulos por un número''+
-|descripcion=Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos: +
- +
-:a) 56º 20' 40" : 5 +
- +
-:b) 37º 42' 15" : 4 +
-:c) 125º 15' 30" : 3 +===Actividades===
-|url1=http://proyectodescartes.org/uudd/materiales_didacticos/Medicion_de_angulos-JS/angulo8.htm+{{resumen operaciones con ángulos}}
-}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se opera con ángulos gráficamente y algebraicamente.+
-|enlace=[https://ggbm.at/KvpBsX52 Operaciones con ángulos]+
-}}+
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

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Suma

Dos o más ángulos pueden sumarse para formar otro. La operación suma de ángulos se realiza tanto gráficamente como analíticamente:

  • La suma gráfica se realiza colocando los ángulos en posición de consecutivos, es decir, compartiendo el vértice y un lado, para dar lugar a otro ángulo que comprende a ambos.
  • La suma analítica se realiza sumando las amplitudes de los ángulos para obtener la amplitud del ángulo resultante.

Suma de ángulos     Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se suman ángulos gráficamente y de forma analítica en forma simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Suma de ángulos     Descripción:

Construcción gráfica de la suma de dos ángulos, con regla y compás.

ejercicio

Procedimiento

Para sumar analíticamente un ángulos en sexagesimal, en forma compleja:

  1. Sumamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
  2. Si la suma de los segundos es superior a 60, la transformamos en minutos, y se la añadimos a los minutos.
  3. Si la suma de los minutos es superior a 60, la transformamos en grados, y se la añadimos a los grados.

ejercicio

Ejemplo: Suma de ángulos

Calcula la siguiente suma de ángulo en sexagesimal en forma compleja:

22^\circ \, 48' \, 35'' + 56^\circ \, 45' \, 30''

Solución:

Solución:

Si sumamos por separado los grados, los minutos y los segundos, resulta: 

  22º  48'  35"
+ 56º  45'  30"
 _______________
  78º  93'  65"

Pero 65" equivalen a 1' (60") y 5", luego la suma se puede escribir así: 

78º  94'  5"

De la misma forma, 94' equivalen a 1º (60') y 34'. Luego la suma es: 

79º 34' 5"

video
Suma de ángulos
Actividad 1     Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" + 37º 42' 15"
b) 125º 15' 30" + 24º 50' 40"
c) 33º 33' 33" + 17º 43' 34"
Actividad 2     Descripción:

Suma de ángulos en sexagesimal.

video
Suma de ángulos en forma compleja
Tutorial (6'25")     Sinopsis:

Suma de ángulos en forma compleja.

Ejercicio 1 (3'37")     Sinopsis:

Calcula: (26º 42' 51") + (11º 30' 14")

Ejercicio 2 (2'48")     Sinopsis:

Calcula: (26º 14' 41") + (24º 59")

Ejercicio 3 (2'42")     Sinopsis:

Calcula: (38º 47') + (19º 54' 10")

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Resta

La resta o diferencia de ángulos puede hacerse, igual que la suma, de dos formas: gráfica y analítica.

  • La resta gráfica, consiste en colocar los dos ángulos de manera que compartan el vértice y un lado. Así, el ángulo mayor comprende al menor, y el exceso es la diferencia entre ambos.
  • La resta analítica se realiza restando la amplitud del ángulo menor de la del mayor.

Resta de ángulos     Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se restan ángulos de forma gráfica y de forma analítica simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

Resta de ángulos     Descripción:

Construcción gráfica de la resta de dos ángulos, con regla y compás.

ejercicio

Procedimiento

Para restar analíticamente ángulos en sexagesimal, en forma compleja:

  1. Restamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
  2. Si al restar los segundos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un minuto en 60" y se lo sumaremos a los segundos.
  3. Si al restar los minutos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un grado en 60' y se lo sumaremos a los minutos.
  4. Terminaremos restando los grados normalmente.

Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Resta de ángulos

Calcula la siguiente resta de ángulo en sexagesimal en forma compleja :

62^\circ - 56^\circ \, 48' \, 35''
Solución:

Debemos hacer la siguiente operación: 

  62º   0'   0" 
− 56º  48'  35" 
 _______________

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una grado en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, los 60º se convierten en 61º 59' 60". 

  61º 59' 60" 
− 56º 48' 35" 
 _____________
  5º  11' 25"

video
Resta de ángulos
Actividad 1     Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" - 37º 42' 15"
b) 125º 15' 30" - 24º 50' 40"
c) 33º 33' 33" - 17º 43' 34"

Actividad 2     Descripción:

Calcula el complementario y el suplementario de los siguientes ángulos y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40"
b) 37º 42' 15"
c) 125º 15' 30"
Actividad 3     Descripción:

Resta de ángulos en sexagesimal.

Actividad 4     Descripción:

Resta de ángulos en sexagesimal.

Actividad 5     Descripción:

Cálculo del complementario y del suplementario.

Actividad 6     Descripción:

Cálculo del complementario y del suplementario.

video
Resta de ángulos en forma compleja
Tutorial (5'08")     Sinopsis:

Resta de ángulos en forma compleja.

Ejercicio 1 (2'58")     Sinopsis:

Calcula: (213º 17' 25") - (122º 35' 48")

Ejercicio 2 (2'52")     Sinopsis:

Calcula: (49º 12') - (15º 27' 50")

Ejercicio 3 (2'16")     Sinopsis:

Calcula: (100º 18") - (31º 20' 10")

Ejercicio 4 (2'55")     Sinopsis:

Calcula: (147º) - (23º 52' 3")

Ejercicio 5 (3'45")     Sinopsis:

¿Cuál es el complementario de 53º41'28"

Ejercicio 6 (3'43")     Sinopsis:

¿Cuál es el suplementario de 75º16'49"

Ejercicio 7 (2'34")     Sinopsis:

Calcula: (131º 45' 36") - (31º 58' 26")

video
Suma y resta de ángulos
Tutorial 1 (7'37")     Sinopsis:

Suma y resta de ángulos en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

Tutorial 2 (2'12")     Sinopsis:

Suma y resta de ángulos en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

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Multiplicación por un número natural

Multiplicar un ángulo por un número natural equivale a sumar el ángulo consigo mismo tantas veces como indique el número.

  • La multiplicación gráfica de un ángulo por un número natural se hace colocando el ángulo en posición de consecutivo consigo mismo tantas veces como indique el número.
  • La multiplicación analítica se realiza multiplicando el número por la amplitud del ángulo.

Multiplicación de un ángulo por un número     Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se multiplican ángulos por números naturales de forma gráfica y de forma analítica en forma simple. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

ejercicio

Procedimiento

Para multiplicar analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, por un número natural:

  1. Multiplicamos por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
  2. Si los segundos resultantes son superiores a 60, los transformamos en minutos, y se lo añadimos a los minutos.
  3. Si los minutos resultantes son superiores a 60, los transformamos en grados, y se lo añadimos a los grados.


Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Multiplicación de un ángulo por un número

Calcula la siguiente multiplicación de un ángulo en sexagesimal en forma compleja por un número natural:

3 \cdot (18^\circ \, 26' \, 35'')
Solución:
  18º  26'  35" 
x             3    
 _______________
  54º  78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego 

 54º 79' 45"

Pero 79' = 1º 19', luego 

 55º 19' 45"

Actividades: Multiplicación de un ángulo por un número     Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" x 2
b) 37º 42' 15" x 4
c) 125º 15' 30" x 3
video
Multiplicación de un ángulo por un número, en forma compleja
Tutorial (2'06")     Sinopsis:

Multiplicación de ángulos por un número en forma compleja en sexagesimal.

Ejercicio 1 (3'34")     Sinopsis:

Calcula: (25º 12' 37")· 5

Ejercicio 2 (3'04")     Sinopsis:

Calcula: (50º 18")· 20

Ejercicio 3 (2'54")     Sinopsis:

Calcula: (72º 31')· 17

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División por un número natural

La división de un ángulo por un número natural es una operación que consiste en separar el ángulo en tantas partes iguales como nos indique el número.

  • La división se realiza de forma analítica dividiendo la amplitud del ángulo entre el número natural correspondiente.
  • La división gráfica resulta más compleja ya que no siempre se puede hacer con regla y compás.

Por ejemplo, la división de un ángulo en tres partes iguales (el famoso problema de la trisección del ángulo), es imposible para la mayor parte de los ángulos. En cambio, siempre es posible calcular la división de un ángulo en dos partes iguales gráficamente, mediante el trazado de la bisectriz del ángulo.

Trisección de un ángulo recto     Descripción:

Construcción gráfica de la trisección de un ángulo recto, con regla y compás.

División de un ángulo por un número     Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se dividen ángulos por números naturales. Podrás hacer uso de un transportador de ángulos virtual para comprobar los resultados.

ejercicio

Procedimiento

Para dividir analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, entre un número natural:

  1. Dividimos los grados entre ese número.
  2. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos.
  3. Dividimos los minutos.
  4. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. #Dividimos los segundos.

Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: División por un número en forma compleja

Calcula la siguiente división de un ángulo en sexagesimal en forma compleja entre un número natural:

(66^\circ \, 45' \, 36''):4
Solución:
Imagen:division_angulos.gif

Actividad: División de ángulos por un número     Descripción:

Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos en sexagesimal en forma compleja y comprueba los resultados pinchando en el enlace de arriba:

a) 56º 20' 40" : 5
b) 37º 42' 15" : 4
c) 125º 15' 30" : 3
video
División un ángulo entre un número en forma compleja
Tutorial (7'13")     Sinopsis:

División de un ángulo entre un número en forma compleja en sexagesimal.

Ejercicio 1 (4'21")     Sinopsis:

Calcula: (139º 34' 48") : 6

Ejercicio 2 (5'11")     Sinopsis:

Calcula: (50º 20' 26") : 12

Ejercicio 3 (5'13")     Sinopsis:

Calcula: (125º 37') : 9

Ejercicio 3 (4'03")     Sinopsis:

Calcula: (65º 21') : 3

Multiplicación y división de ángulos (9'37")     Sinopsis:

Multiplicación y división en forma compleja, en el sistema sexagesimal.

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Actividades

Ejercicios (10'15")     Sinopsis:

3 ejercicios sobre medida y tipos de ángulos.

Operaciones con ángulos     Descripción:
  1. Actividad en la que podrás ver como se suman, restan, multiplican o dividen ángulos en sexagesimal, en forma compleja.
  2. Ejercicios resueltos.
Ejercicios resueltos: Operaciones con ángulos     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre operaciones con ángulos en sexagesimal.

Autoevaluación: Operaciones con ángulos     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con ángulos en sexagesimal.

Operaciones con ángulos     Descripción:

En esta escena podrás ver como se opera con ángulos gráficamente y analíticamente.

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