Funciones: Definición

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Indice Descartes Manual Casio	Coordenadas Funciones (SM)	Ejercicios 1 Ejercicios 2	WIRIS Geogebra Calculadora Función Lista de funciones

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Concepto de función
3 Formas de expresar una función
4 Reconocer relaciones funcionales y no funcionales
5 Dominio e imagen de una función
6 Variables discretas y continuas
7 Expresión analítica de una función
- 7.1 Dominio de una función dada por una expresión analítica
8 Puntos de corte con los ejes de una función
9 Signo de una función
10 Ejercicios

Introducción

Para empezar Descripción:

Actividad de introducción al tema de funciones.

Concepto de función

Una función es una relación entre dos variables (por ejemplo, $x\;$ e $y\;$ ) que a cada valor de $x\;$ le asigna un único valor de $y\;$ .

La variable $x\;$ se llama variable independiente y la variable $y\;$ se llama variable dependiente, porque su valor depende de $x\;$ .

Se dice que $y\;$ es función de $x\;$ y lo representamos por $y = f(x)\;\!$ . También se dice que $y\;$ es la imagen de $x\;$ mediante la función $f\;$ .

Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

La relación entre el tiempo (t) que el grifo está abierto y el volumen (V) de agua que hay en el depósito es una función.

El volumen es función del tiempo: $V=f(t)\;$

La variable independiente (t) es el "tiempo que está abierto el grifo".
La variable dependiente (V) es el "volumen de agua que se ha llenado el depósito".

En los siguientes videos se explican los conceptos básicos sobre funciones que trataremos a lo largo de este tema.

Concepto de función

Tutorial 1 (27'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos sobre funciones: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido... necesarios para poder comprender la terminología que se emplea en el análisis matemático.

Tutorial 2 (46'32") Sinopsis:

Definición de función.
Dominio e imagen (o rango).
Distintas formas de representar una función.
Ejercicios resueltos.

Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de varias formas:

Mediante un enunciado que explique la relación que existe entre las variables.
Mediante una expresión analítica, esto es, una ecuación que relacione las variables.
Mediante una tabla que contenga los valores de las variables, emparejados.
Mediante una gráfica, representada en unos ejes cartesianos con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente $x\;$ , y sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente $y\;$ . Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores $x\;$ e $y\;$ , que son sus coordenadas $(x,y)\;$ , su abcisa y su ordenada.

Ejemplo:

Consideremos el ejemplo anterior del grifo y el depósito:

1. Enunciado:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

2. Expresión analítica:

$V=f(t)=2t\;$

t = "Tiempo que está abierto el grifo" (en segundos).

V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito" (en litros).

3. Tabla de valores:

Tiempo (s)	0	1	5	20	40	60	100
Volumen (l)	0	2	10	40	80	120	200

4. Gráfica:

Representaremos los valores de la tabla en unos ejes de coordenadas. Cada punto de la gráfica consta de dos coordenadas: la primera es el valor de t y la segunda, el valor de V.

Formas de expresar una función

Actividad: Tabla de valores y gráfica de una función dada por una expresión analítica

En el ejemplo anterior hemos trabajado con la función V=2t:

a) Obtén la tabla para t=0 hasta t=100 de 10 en 10.

b) Dibuja la gráfica.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Table[2t,{t,0,100,10}]

b) Plot Table[2t,{t,0,100,10}]

Funciones dadas mediante enunciados

Funciones dadas mediante enunciados

Ejercicio 1 (4'28") Sinopsis:

Arjun abrió una cuenta de ahorros el pasado año y puso una cantidad inicial e ella. Sea M(t) el saldo de la cuenta (medido en pesos), a los t días desde que fue abierta. ¿Qué significa la expresión M(30) - M(0) = 100 ?

Ejercicio 2 (3'16") Sinopsis:

Sea P(t) el número de personas en la playa de Copacabana en Río de Janeiro, t horas después de la medianoche de un cierto día. ¿Qué significa la expresión P(5) < P(9) ?

Funciones dadas mediante enunciados Descripción:

Autoevaluación.

Funciones dadas mediante expresiones analíticas

Funciones dadas mediante expresiones analíticas

Tutorial (8'38") Sinopsis:

¿Qué es una función?
¿Cómo se evalúa una función?

Ejercicio (1'03") Sinopsis:

La función f(x) se define como $f(x)=49-x^2\;$ . Encuentra el valor de f(5).

Funciones dadas mediante expresiones analíticas Descripción:

Evalúa funciones a partir de su expresión analítica.

Funciones dadas mediante tablas

Funciones dadas mediante tablas (21'29") Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos de la función y su trabajo en forma de tabla: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido...

Nota: Algunos conceptos tratados en este tutorial se verán, más adelante, a lo largo de este tema.

Concepto de función y tabla de valores Descripción:

Actividad en la que aprenderás el concepto de función con distintos ejemplos y su representación mediante tabla de valores.

Representación de funciones mediante gráficas

La representación gráfica de una función nos permite visualizar el comportamiento de las dos variables.

Procedimiento

Usaremos un sistema de ejes cartesianos con una escala adecuada.
- Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente $x\;$ .
- Sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente $y\;$ .
Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores $x\;$ e $y\;$ , que son sus coordenadas $(x,y)\;$ , su abscisa y su ordenada.

Ejemplo:

Consideremos el ejemplo anterior del grifo y el depósito:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

Función:

El volumen del depósito es función del tiempo: $V=f(t)\;$

t = "Tiempo que está abierto el grifo" (en segundos).

V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito" (en litros).

Tabla de valores:

Para obtener la representación gráfica es necesario obtener puntos de la misma. Para ello construiremos la llamada tabla de valores, que consiste en averiguar parejas de valores (t,V) que estén relacionadas mediante la función:

tiempo (s)	0	1	5	20	40	60	100
Volumen (l)	0	2	10	40	80	120	200

Gráfica:

Representaremos los valores de la tabla en unos ejes de coordenadas. Cada punto de la gráfica consta de dos coordenadas: la primera es el valor de t y la segunda, el valor de V.

Representación gráfica de funciones

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que aprenderás a representar gráficamente una función a partir de su tabla de valores. Las funciones son las que sirvieron de ejemplo en la actividad del apartado anterior.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan los puntos de la gráfica de una función en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Funciones dadas mediante gráficas

Tutorial 1 (25'04") Sinopsis:

La primera parte del tutorial recuerda los conceptos básicos sobre funciones: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido... En la segunda parte se muestran ejemplos de funciones dadas mediante gráficas.

Tutorial 2: Gráficas engañosas (4'54") Sinopsis:

Ejemplo de cómo se pueden usar las gráficas de forma engañosa en publicidad.

El lenguaje de las gráficas (13´) Sinopsis:

Las gráficas de contenido matemático se han convertido en el lenguaje más universal de finales del siglo XX. En cualquier medio de comunicación cada vez que se quiere dar información cuantitativa de un proceso aparece una gráfica matemática. Sus ventajas son incuestionables, son capaces de ofrecer gran cantidad de información de un simple vistazo. Constituyen un instrumento imprescindible en campos tan dispares como la medicina, la economía, la física, la biología y hasta en el deporte. En este programa investigaremos su origen relativamente reciente, tienen poco más de 200 años de existencia, y sus distintas aplicaciones y daremos algunos consejos para interpretar de forma crítica la información presentada en forma de gráficas.

Ejercicio 1 (0'35") Sinopsis:

Halla f(6) a partir de la gráfica de f(x).

Ejercicio 2 (1'50") Sinopsis:

Halla 2·f(8) + 8·g(8) a partir de las gráficas de f(x) y g(x).

Funciones dadas mediante gráficas

Actividad 1 Descripción:

Función que relaciona el tiempo que lleva abierto un grifo y la altura que alcanza el nivel del agua en un depósito cilíndrico.

La siguiente escena representa una botella (en color rojo) que cuando abras el grifo se comenzará a llenar de agua. El proceso de llenado de la botella se puede describir matemáticamente con lo que llamamos función, así para un tiempo concreto la función nos dice la altura de la botella en ese momento. El dibujo que queda tras el punto A se llama gráfica de la función.

Haz clic en el botón y dejándolo pulsado observa cómo se llena la botella .

Observa que en el eje horizontal representamos el tiempo que dejamos el grifo abierto y en el vertical la altura que el agua alcanza en la botella. En el eje horizontal hemos empezado a marcar 1 segundo, 2 segundos, etc.

Observa en este ejemplo, que la altura es cero cuando el tiempo transcurrido es cero y que la gráfica va creciendo.

a) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.

Si haces clic sobre un punto con el cursor te aparecerán los valores horizontal (tiempo) y vertical (altura) para ese punto.

b) ¿Qué puedes decir de la relación entre las variables tiempo y altura?

c) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse hasta la mitad?

d) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse un cuarto? ¿Y tres cuartos?

Actividad 2 Descripción:

Función que relaciona el tiempo que lleva abierto un grifo y la altura que alcanza el nivel del agua en un depósito de forma cónica.

En la siguiente escena la forma de la botella ha cambiado.

a) Intenta hacer la gráfica antes de ver como queda en la escena.

b) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.

c) ¿Qué puedes decir de la relación entre las alturas y los tiempos?

d) Ahora la altura del agua según pasa el tiempo sube más despacio, ¿por qué?

Ahora prueba a cambiar la forma de la botella moviendo el punto P.

e) Haz una botella con la boca más estrecha que la base y observa las distintas gráficas que se generan. Da una explicación de lo qué ocurre.

f) Las gráficas unas veces son convexas (tipo U) y otras cóncavas (tipo U invertida), ¿de qué depende?

Autoevaluación 1 Descripción:

Evalúa funciones a partir de su gráfica.

Autoevaluación 2 Descripción:

Evalúa expresiones con funciones.

Reconocer relaciones funcionales y no funcionales

Reconocer relaciones funcionales y no funcionales

Tutorial 1a (5´01") Sinopsis:

Reconocer relaciones funcionales a partir de una gráfica.

Tutorial 1b (1´25") Sinopsis:

¿Una recta vertical representa una función?

Tutorial 1c (5´26") Sinopsis:

Reconocer funciones a partir de una tabla.

Ejercicio 1 (1´46") Sinopsis:

El valor de y siempre es "tres más que el doble de x". ¿Es y una función de x?

Ejercicio 2 (2´34") Sinopsis:

Gaby está comprando regalos en línea. El costo del envío se basa en la cantidad de dinero del pedido. Para pedidos superiores a $20, el coste del envío es $4. Para pedidos de $20 o menos, el coste es del envío es $7. ¿Podemos expresar la cantidad de dinero del pedido en función del coste del envío?

Reconocer relaciones funcionales y no funcionales

Actividad 1 Descripción:

Actividades con las que aprenderás a distinguir relaciones que son función de las que no.

Actividad 2 Descripción:

Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.

Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos $x\;$ (variable independiente) e $y\;$ (variable dependiente). Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.

Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le debe corresponder un sólo valor de la variable dependiente.

a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra. Para ello, mueve el punto P y fíjate cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica. Si es más de uno no es una función.

Actividad 3 Descripción:

En esta escena podrás ver, mediante ejemplos gráficos, como algunas relaciones entre variables son función y otras no.

Autoevaluación 1 Descripción:

Reconocer relaciones funcionales a partir de gráficas

Autoevaluación 2 Descripción:

Reconocer relaciones funcionales a partir de tablas

Dominio e imagen de una función

El conjunto de valores de la variable independiente, $x\;$ , para los que hay un valor de la variable dependiente, $y\;$ , se llama dominio de definición de la función. Se denota $Dom_f\;$ .

El conjunto de valores que toma la variable independiente, $y\;$ , se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota $Im_f\;$ .
Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

t = "Tiempo que está abierto el grifo".

V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".

Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos: $Dom_f=[0,100]\;$
Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros: $Im_f=[0,200]\;$

Dominio e imagen de una función

Tutorial (10'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'11") Sinopsis: