Medidas en los triángulos (1º ESO)

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Áreas y perímetros en los triángulos

Perímetro:

$P=b+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {b \cdot a}{2}$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

$c \ , d\;$ : lados.

Nota:

Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

Área y perímetro del triángulo

Tutorial 1 (6'58") Sinopsis:

Videotutorial que condensa todo lo que vamos a ver sobre medidas en los triángulos.

Tutorial 2 (3'55") Sinopsis:

Fórmula general y tres casos prácticos de cómo calcular el área de un triángulo.

Tutorial 3 (0'36") Sinopsis:

Deducción del área de un triángulo.

Tutorial 4 (5'29") Sinopsis:

Deduciendo la fórmula del área del triángulo.

Tutorial 5 (3'26") Sinopsis:

Demostración de área del triángulo.

Problema 1 (1'50") Sinopsis:

Calcula la altura de un triángulo de 34 cm² de área y 10 cm de base.

Problema 2 (3'00") Sinopsis:

El área de un triángulo isósceles es de 24 dm². Si sabemos que la altura relativa al lado desigual es de 100 cm, ¿cuántos cm mide este lado?

Problema 3 (4'09") Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 7 cm de lado.

Problema 4 (3'56") Sinopsis:

Calcula el la altura, el área y el perímetro de un triángulo isósceles de 8 cm de base y cuyos lados iguales miden 7 cm.

Problema 5 (5'34") Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 36 m de perímetro.

Área y perímetro del triángulo

Actividad 1 Descripción:

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.

Actividad 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área y el perímetro de triángulos.

Actividad 4 Descripción:

Actividades sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados $a\;$ , $b\;$ , $c\;$ viene dada por:

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,$

donde $s\;$ es el semiperímetro: $s=\frac{a+b+c}{2}$ .

Demostración:

Nota: El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.

Supongamos un triángulo de lados $a\;$ , $b\;$ , $c\;$ , cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son $\hat{A}\;$ , $\hat{B}\;$ , $\hat{C}\;$ .

Por el teorema del coseno, tenemos que:

$\cos(\hat{C}) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:

$\sin(\hat{C}) = \sqrt{1-\cos^2(\hat{C})} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

La altura de un triángulo de base $a\;$ tiene una longitud $b sin(\hat{C})$ , por tanto siguiendo con la demostración

$A = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})$

$\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})$

$\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$

$\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$

Fórmula de Herón Descripción:

En esta escena podrás calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Fórmula de Herón

Ejercicio 1 (3´42") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5.

Ejercicio 2 (3´42") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 4.4, 6.7 y 9.3.

Ejercicio 3 (9´08") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 24 cm y 7 cm.

El triángulo

Actividad: El triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en

d m 2

b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.

c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1

m 2

d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters

b) triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area

c) isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths

c) equilateral triangle edge length 5cm area

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