Triángulos

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Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados. Por tanto, tiene tres vértices y tres ángulos.

Nomenclatura:

  • En un triángulo, la letra que se usa para el vértice es mayúscula: A \,\ B,\ C.
  • Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", para nombrar el ángulo:\hat A, \ \hat B, \ \hat C, aunque también son usuales las letras griegas: \alpha,\ \beta,\ \gamma.
  • El nombre de cada lado se expresa con una letra minúscula: a,\ b,\ c; es la letra correspondiente al vértice opuesto al lado. También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas: BC,\ AC,\ AB, las de los vértices contenidos en ese lado.

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Propiedades


Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:

  1. Sus tres ángulos suman 180º.
  2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
  3. Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.

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Triángulos


Clasificación de los triángulos

Según sus lados:
  • Equilátero: Si tiene los tres lados iguales
  • Isósceles: Si tiene dos lados iguales.
  • Escaleno: Si tiene tres lados desiguales.

Según sus ángulos:

  • Rectángulo: Si tiene un ángulo recto
  • Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso
  • Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos

Igualdad de triángulos

Dos triángulo son iguales (congruentes) si tienen sus lados y sus ángulos iguales.

Para que dos triángulos sean iguales basta con que se verifique una de las siguientes condiciones:

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Criterios de congruencia de triángulos


  • Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales (LLL).
  • Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
  • Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y son iguales sus ángulos contiguos (ALA).

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Congruencia de triángulos


Construcción de triángulos

Basándonos en lo anterior podemos dar el siguiente resultado:

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Procedimiento


Para construir un triángulo se debe dar una de las siguientes tres situaciones:

a) Conocer tres lados (LLL).
b) Conocer dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
c) Conocer un lado y sus dos ángulos contiguos (ALA).

Rectas y puntos notables en un triángulo

  • Medianas y baricentro
Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.

  • Alturas y ortocentro
Las alturas de un triángulo son las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro (O).

  • Mediatrices y circuncentro
Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado.
Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices del triángulo).

  • Bisectrices e incentro
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.
Las tres bisectrices de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

  • Recta de Euler
La recta de Euler de un triángulo es aquella recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo

Triángulos rectángulos

  • Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.
  • El mayor de los lados, opuesto al ángulo recto, se le llama hipotenusa.
  • A los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se les llama catetos.

Teorema de Pitágoras

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Teorema de Pitágoras


En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:


a^2+b^2=c^2\;\!


donde a\;\! y b\;\! son los catetos y c\;\! la hipotenusa.


Este teorema se debe a Pitágoras de Samos (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)

Demostración geométrica animada

Aplicaciones

Ver: Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

Ejercicios

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Ejercicios de autoevaluación

Herramientas personales
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