Sucesos aleatorios (3ºESO)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Fenómeno o experimentos aleatorio
3 Espacio muestral
4 Sucesos
- 4.1 Tipos de sucesos
- 4.2 Operaciones con sucesos. Sucesos compatibles e incompatibles
5 Actividades y videotutoriales

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Introducción

Un juego Descripción:

Actividad de introducción al tema de probabilidad.

El siguiente videotutorial resume todo lo que vamos a ver en los siguientes apartados.

Tutorial (7'09") Sinopsis:

Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos
Ejemplos.

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Fenómeno o experimentos aleatorio

Un fenómeno o experimento aleatorio es aquel en el que no se puede preveer, con certeza, el resultado que va tener lugar al observar el fenómeno o al realizar el experimento. El resultado depende del azar.
En caso contrario, se dirá que el fenómeno o experimento es determinista.

Ejemplo

Al lanzar una moneda al aire, no sabemos si va a salir cara o cruz. Por tanto, se trata de un experimento aleatorio en el que los posibles resultados son "salir cara" o "salir cruz".
Si nos preguntamos si lloverá mañana, caben dos posibilidades: "si" o "no", y no sabemos con certeza que ocurrirá. Es un fenómeno aleatorio.
Si metemos un agua en un congelador a -20ºC, ésta se congela. Se trata de un experimento determinista.

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Espacio muestral

Llamaremos espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados o casos de un experimento aleatorio. Lo denotamos con la letra $E \;$ , o bien, $\Omega \;$ .

Ejemplos: Espacio muestral

a) ¿Cuáles son los casos y el espacio muestral asociado al experimento de "lanzar una moneda"?

b) ¿Cuál es el espacio muestral asociado al experimento de "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos"?

Solución:

Solución a):

Los casos del experimento aleatorio "lanzar una moneda" son "salir cara" (C) y "salir cruz" (X).

Por tanto, el espacio muestral es

$E = \left\{ \, C, \, X\right\}$

Solución b):

El espacio muestral asociado al experimento de "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos" es:

$E = \left\{ \, 2, \, 3, \, 4 , \, 5, \, 6 , \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}$

Técnicas de recuento Descripción:

Actividades en las que podrás aprender técnicas de recuento para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Ejercicios: Espacio muestral

Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Lanzar tres monedas.

b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Ayúdate de la siguiente escena con la que podrás construir el diagrama de árbol correspondiente:

Constructor de diagramas de árbol Descripción:

Escena que te permite construir diagramas de árbol.

Solución:

Solución:

a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:

E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}

b) E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E={BB,BN,NN}

d) Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

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Sucesos

Llamaremos suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral $E\,$ . Para designar cualquier suceso utilizaremos letras mayúsculas.
Al conjunto de todos los sucesos que pueden tener lugar en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por $S\,$ .

Experimento aleatorio, espacio muestral y sucesos Descripción:

Actividades en las que podrás aprender los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral y suceso aleatorio.

Proposición

Si el cardinal de $E\,$ es un número finito, $n\,$ , entonces el cardinal de $S\,$ es $2^n\,$

Demostración:

Demostración:

Como E tienen n elementos, y cada uno de ellos tiene 2 posibilidades ("estar" o "no estar" en un subconjunto de E) entonces los casos posibles son $2^n\;$ .

Ejemplo: Sucesos

En el experimento "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos", determina los siguientes sucesos del espacio muestral:

a) Salir múltiplo de 5. b) Salir número primo. c) Salir mayor o igual que 10.

Solución:

Solución:

a) Salir múltiplo de 5: $A = \left\{ \, 5, \, 10 \, \right\}$

b) Salir número primo: $B = \left\{ \, 2, \, 3, \, 5, \, 7, \, 11 \, \right\}$

c) Salir mayor o igual que 10: $C = \left\{ \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}$

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Tipos de sucesos

Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado o caso del experimento.
Sucesos compuestos son los que estan formados por más de un resultado o caso del experimento, es decir, por más de un suceso elementale.
Suceso seguro es el que ocurre siempre que se realice el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por $\emptyset$ .

Tipos de sucesos

Tutorial 1 (2'20") Sinopsis:

Sucesos aleatorios. Tipos.

Tutorial 2 (6'46") Sinopsis:

Sucesos aleatorios. Tipos.

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Operaciones con sucesos. Sucesos compatibles e incompatibles

Unión de sucesos: La unión de dos sucesos $A\;$ y $B\;$ está formada por aquellos sucesos elementales que pertenecen al conjuto $A\;$ o al conjunto $B\;$ (se juntan los elementos de $A\;$ y de $B\;$ ). Se representa $A \cup B$ .
Intersección de sucesos: La intersección de dos sucesos $A\;$ y $B\;$ está formada por aquellos sucesos elementales que pertenecen al conjuto $A\;$ y al conjunto B (los elementos comunes de $A\;$ y $B\;$ ). Se representa $A \cap B$ .
Dos sucesos son incompatibles cuando no tienen ningún suceso elemental en común, es decir, cuando $A \cap B=\empty$ . En caso contrario diremos que son compatibles.
Suceso contrario o complementario de un suceso $A\;$ es el formado por los sucesos elementales del espacio muestral que no están en $A\;$ . Se representa por $\overline{A}$ .

Ejemplo: Operaciones con sucesos

En el experimento "lanzar un dado", se consideran los sucesos siguientes:

A = Obtener un número menor que 4 = {1, 2, 3}

B = Obtener un número impar = {1, 3, 5}

Calcula:

a) $A \cup B$ b) $A \cap B$ c) $\overline{A}$ d) $\overline{B}$

Solución:

Solución:

a) $A \cup B=\{ 1, 2, 3, 5 \}$

b) $A \cap B=\{ 1, 3 \}$

c) $\overline{A}=\{ 4, 5, 6 \}$

d) $\overline{B}=\{ 2, 4, 6 \}$

Operaciones con sucesos Descripción:

Actividades en las que podrás aprender las operaciones con sucesos.

Propiedades de las operaciones con sucesos Descripción:

Actividades en las que podrás aprender las propiedades de las operaciones con sucesos.

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Actividades y videotutoriales

Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos

Tutorial 1 (7'09") Sinopsis:

Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos
Ejemplos.

Tutorial 2 (13'37") Sinopsis:

La primera parte de este videotutorial de 33'20" dura 13'37" y trata sobre:

00:00 a 07:35: Introducción general: Experimento aleatorio, espacio muestra y sucesos.
07:35 a 13:35: Ejemplos de espacios muestrales y tipos de sucesos.

Ejercicio 1 (5'09") Sinopsis:

Ejercicio 1: En el experimento de lanzar un dado de 6 caras, calcula:

a) Espacio muestral.

b) Sucesos elementales.

c) Suceso A, "sacar un número par".

d) Suceso B, "sacar un múltiplo de 3".

e) Suceso contrario de A.

f) Suceso seguro, C y un suceso imposible, D.

Ejercicio 2 (5'14") Sinopsis:

Ejercicio 2: En el experimento de lanzar un dado de 6 caras, se consideran los sucesos:

A = Sacar número par.

B = Sacar número múltiplo de 3.

a) Halla $A \cup B$ .

b) Halla $A \cup B$ .

c) ¿Son A y B incompatibles?

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Sucesos_aleatorios_%283%C2%BAESO%29"

Categorías: Matemáticas | Probabilidad

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