Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 08:36 16 sep 2017

El valor absoluto o módulo de un número real $a\;$ es el propio número $a\;$ , si es positivo o nulo. Y su opuesto, $-a\;$ , si es negativo. Es decir:

$|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}$

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\;$ corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde $a\;$ hasta el cero.

Ejemplos:

Ejemplos: Valor absoluto

1) Calcula el valor absoluto de los siguientes números: $7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}$

2) ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?

a) $|x|=3\;$

b) $|x|=0\;$

c) $|x|=\sqrt{3}\;$

Solución:

$|7.4|=7.4\;$

$|0|=0\;$

$|-5.87|=5.87\;$

$|\sqrt{9}|=|\pm 3|= 3\;$

$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\;$

a) $|x|=3 \iff x=3 \quad \acute{o} \quad x=-3$

b) $|x|=0 \iff x=0$

c) $|x|= \sqrt{3} \iff x= \sqrt{3} \quad \acute{o} \quad x=-\sqrt{3}$

Propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto

1. $|x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0$

2. $\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k$

3. $\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

4. $\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k$

5. $|x \cdot y|= |x| \cdot |y|$

6. $|x + y| \le |x|+|y|$

Valor absoluto de un número real

Tutorial 1 (13´53") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el concepto matemático de valor absoluto de un número real y expresiones sencillas.

00:00 a 03:25: Definición matemática de valor absoluto y ejemplos iniciales.
03:25 a 11:10: Cálculo del valor absoluto de expresiones numéricas sencillas.
11:10 a 13:53: Propiedades del Valor Absoluto.

Tutorial 2 (2´47") Sinopsis:

Definición del valor absoluto de un número.
Ejemplos.
Propiedades del valor absoluto.

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean $x, y, z \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1. $x<y \Rightarrow x+z<y+z$

2. $x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z$

3. $x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z$

4. $x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}$

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00") Sinopsis:

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad?. Ejemplos.

(pág. 33)

Ecuaciones con valor absoluto

Procedimiento

Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k$

Ecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 1 (11'54") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|5x-2| = 3\;$

b) $|7x-4|+2 = 0\;$

c) $|6-3x| = |2x+1|\;$

Ejercicio 2 (17'18") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|2x-4|-6 = 0\;$

b) $|3x-2|+5x-6 = 0\;$

c) $7-2x+|3x-3| = 0\;$

Ejercicio 3 (3'13") Sinopsis:

Resuelve:

$|3x+2|+|3-x| = 7\;$

Ejercicio 4 (12'45") Sinopsis:

Resuelve:

$|3x-3|-|2x-6| = 1\;$

Valor absoluto

Actividad: Valor absoluto

Resuelve

a) $|3x-1|=0 \;$

b) $|3x-1|=4 \;$

c) $|x-5|>2 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) $| 3 x - 1 | = 0$

b) $| 3 x - 1 | = 4$

c) $| x - 5 | > 2$

Inecuaciones con valor absoluto

Procedimiento

Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

$\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k$

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) $|x| \ge 3\;$

b) $|x-2|\le 3\;$

Solución:

a) $|x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff$

$\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right )$

b) $|x-2|\le 3 \iff -3<x-2<3 \iff -3+2<x-2+2<3+2 \iff$

$\iff -1<x<5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]$

Inecuaciones con valor absoluto

Tutorial 1a (10'39") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.

Tutorial 1b (12'54") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'36") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|x| \le 2\;$

b) $|x-1| > 3\;$

Ejercicio 2 (4'43") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-2| < 5\;$

Ejercicio 3 (5'02") Sinopsis:

Resuelve: $\left| \cfrac{x-10}{7} \right| \le 5\;$

Ejercicio 4 (5'45") Sinopsis:

Resuelve: $| 8x+1| >3\;$

Ejercicio 5 (4') Sinopsis:

Resuelve: $| x+6| \ge 1;$

Ejercicio 6 (5'21") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-2| < 5\;$

Ejercicio 7 (9'44") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|3x-2| < 4\;$

b) $|-2x+1| < 5\;$

Ejercicio 8 (4'35") Sinopsis:

Resuelve: $|5x-3| \le 12\;$

Ejercicio 9 (5'18") Sinopsis:

Resuelve: $|8-2x| > 2\;$

Ejercicio 10 (7'50") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-4| \ge |x+4|\;$

Ejercicio 11 (5'56") Sinopsis:

Resuelve: $\left| \cfrac{x+1}{x-2} \right| < 1\;$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Valor_absoluto_%281%C2%BA_Bach%29"

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