Factoriales y números combinatorios (1ºBach)
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Revisión de 17:14 23 sep 2017
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Tabla de contenidos |
(Pág. 43)
Factoriales
Se define el factorial de un número entero positivo "n" como
![n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n](/wikipedia/images/math/1/f/0/1f041b7917591630513119e69f7cf47a.png)
y se define, por convenio:
![0! = 1 \;](/wikipedia/images/math/a/4/5/a452c66b3c63b3c6e8178850da8221d9.png)
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones sin repetición). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.
La notación matemática actual, , fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Factorial de un número. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
a) Halla "x":
b) Halla "a":
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
a) Calcula sabiendo que
b) Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
a) Halla "a":
b) Halla "x":
(Pág. 43)
Números combinatorios
Coeficiente binomial
Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por , o
, o bien
, al número de subconjuntos de
elementos escogidos de un conjunto con
elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de
elementos tomados de
en
" y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".
Proposición
El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:
![{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}](/wikipedia/images/math/c/2/d/c2d02458d8c35f11e465c639ba62f081.png)
Demostración:
Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de
![n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1)](/wikipedia/images/math/5/9/c/59c3b61f2891915a6afd453757bb8c23.png)
formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.
Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es
![{n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}](/wikipedia/images/math/1/a/c/1ac5cae00275349183c9aef06798230b.png)
Multiplicando el numerador y el denominador por
![{n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}](/wikipedia/images/math/3/c/9/3c9d54a7139e62f775f6b90567a7e133.png)
o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:
![{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}](/wikipedia/images/math/c/2/d/c2d02458d8c35f11e465c639ba62f081.png)
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Tutorial sobre números combinatorios.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Calcula
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Calcula
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Calcula cuántos zumos de cuatro frutas distintos se pueden hacer con siete clases de fruta.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Cálculo del número de apuestas de lotería primitiva distintas que se pueden hacer.
Propiedades de los números combinatorios
Propiedades
Demostración:
- En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el
) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
- En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
- Esta demostración no se da por su complejidad.
Apéndice
Permutaciones con repetición
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Calcula las permutaciones de 12 elementos con repetición de 7,3 y 2:
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Calcula las permutaciones de 7 elementos con repetición de 3,2 y 2:
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Una pareja ha tenido 3 niñas y 1 niño. ¿En cuántos órdenes diferentes los ha podido tener?
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido, podemos forma con las letras de la palabra ORDENADOR?
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
¿De cuántas maneras distintas podemos ordenar 3 bolas verdes, 2 rojas y 1 azul?
Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa , o bien
, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y se pueden repetir los elementos.
Proposición
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
![VR_{n,k}=n^k\;](/wikipedia/images/math/e/6/6/e66743a1ab2156e5af092ec268b71a39.png)
Demostración:
Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º también de n maneras (pues puedo repetirlo), el 3º también de n maneras, ..., y el k-ésimo, de n maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.Variaciones ordinarias
Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa , o bien
, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y no se pueden repetir los elementos.
Proposición
Las variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
![V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)](/wikipedia/images/math/1/7/8/178950648ceeb1ba6f09b798cbadd616.png)
Demostración:
Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º de (n-1) maneras distintas (pues no puedo repetir el anterior), el 3º de (n-2), ..., y el k-ésimo, de (n-k+1) maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.