Factoriales y números combinatorios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Factoriales
2 Números combinatorios
- 2.1 Coeficiente binomial
- 2.2 Propiedades de los números combinatorios
3 Apéndice

(Pág. 43)

Factoriales

Se define el factorial de un número entero positivo "n" como

$n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n$

y se define, por convenio:

$0! = 1 \;$ .

Ejemplo

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Ejemplos: Factoriales

Ejemplo 1 (0'56") Sinopsis:

Calcula 10!

Ejemplo 1 (0'48") Sinopsis:

Calcula 8!

Ejemplo 1 (0'47") Sinopsis:

Calcula 5!

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones sin repetición). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.

La notación matemática actual, $n!\;$ , fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.

Ejercicios: Factoriales

Tutorial (9'09") Sinopsis:

Factorial de un número. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'06") Sinopsis:

a) Halla "x": $\cfrac{(x+2)!}{(x+1)!}=10$

b) Halla "a": $\cfrac{(a+2)!}{a!}=\cfrac{4!}{2}$

Ejercicio 2 (8'15") Sinopsis:

a) Calcula $x^2+x+1\;$ sabiendo que $(x!)!=720\;$

b) Simplifica: $\cfrac{(a+8)!(a+6)!}{(a+7)!+(a+6)!}=14!$

Ejercicio 3 (13'30") Sinopsis:

a) Halla "a": $7 \cdot (6!)^2+a^2=2 \cdot (6!)(3a-6!)\;$

b) Halla "x": $\cfrac{(x-1)!+(x-2)!+(x-3)!}{(x-3)!}=25$

Factoriales

Actividad: Factoriales

Calcula:

a) $5! \;$

b) $\cfrac{n!}{(n-1)!}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 5!

b) simplify n!/(n-1)!

(Pág. 43)

Números combinatorios

Coeficiente binomial

Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por ${n\choose k}$ , o $C^k_n \,$ , o bien $C_{n,k} \,$ , al número de subconjuntos de $k\;$ elementos escogidos de un conjunto con $n\;$ elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de $n\;$ elementos tomados de $k\;$ en $k\;$ " y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".

Proposición

El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

Demostración:

Demostración:

Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1)$

formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.

Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.

Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es

${n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}$

Multiplicando el numerador y el denominador por $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;$

${n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}$

o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

c.q.d.

Números combinatorios

Tutorial (6'01") Sinopsis:

Tutorial sobre números combinatorios.

Ejercicio 1 (1'15") Sinopsis:

Calcula $C_{6,5}\;$

Ejercicio 2 (1'29") Sinopsis:

Calcula $C_{8,5}\;$

Problema 1 (1'48") Sinopsis:

Calcula cuántos zumos de cuatro frutas distintos se pueden hacer con siete clases de fruta.

Problema 2 (6'43") Sinopsis:

Cálculo del número de apuestas de lotería primitiva distintas que se pueden hacer.

Números combinatorios

Actividad: Números combinatorios

Calcula:

a) ${6 \choose 4} \;$

b) ${n \choose n-1} \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) C(6,4)

b) C(n,n-1)

Propiedades de los números combinatorios

Propiedades

${n\choose 0} = {n\choose n} = 1$
${n\choose k} = {n\choose n-k}$
${n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}$

Demostración:

Demostración:

En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el $\varnothing$ ) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
Esta demostración no se da por su complejidad.

Apéndice

Permutaciones

Se llama permutaciones de n elementos, y se representa $P_n\;$ , a las diferentes formas de ordenar esos n elementos.

Proposición

Las permutaciones de n elementos se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$P_n=n!\;$

Demostración:

Demostración:

Si quiero formar ordenar n elementos, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º de (n-1) maneras, el 3º de (n-2) maneras, ..., y el n-ésimo, de 1 sola manera. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.

Ejercicios: Permutaciones

Ejercicio 1 (0'48") Sinopsis:

Calcula las permutaciones de 4 elementos sin repetición: $P_{4}\;$

Ejercicio 2 (0'55") Sinopsis:

Calcula las permutaciones de 7 elementos sin repetición: $P_{7}\;$

Problema 1 (1'16") Sinopsis:

Calcula cuántos números de cuatro cifras diferentes (sin repetir la misma cifra) pueden formarse con los dígitos 3,5,7 y 9.

Problema 2 (1'29") Sinopsis:

Di el número de posibles clasificaciones de los 9 nadadores que participan en una prueba de 100 m mariposa.

Problema 3 (6'43") Sinopsis:

¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con 5 dígitos distintos si no se pueden repetir las cifras? (Permutaciones sin repetición)

Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa $PR_n^{a,b,c,...}\;$ , a las distintas formas de ordenar esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.

Proposición

Las permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$PR_n^{a,b,c,...}=\cfrac{n!}{a!b!c!...}\;$

Demostración:

Demostración:

Las permutaciones ordinarias con n elementos son n!. Pero cada elemento repetido "a" veces se puede colocar de a! formas distintas, de manera que debo dividir n! por a! para quedarme solo con las formaciones no repetidas. Lo mismo se hace con los "b", "c", ... elementos repetidos, por lo que habrá que dividir también por b!, c!, ...

Ejercicios: Permutaciones con repetición

Ejercicio 1 (1'28") Sinopsis:

Calcula las permutaciones de 12 elementos con repetición de 7,3 y 2: $PR^{7,3,2}_{12}\;$

Ejercicio 2 (2'02") Sinopsis:

Calcula las permutaciones de 7 elementos con repetición de 3,2 y 2: $PR^{3,2,2}_{7}\;$

Problema 1 (1'40") Sinopsis:

Una pareja ha tenido 3 niñas y 1 niño. ¿En cuántos órdenes diferentes los ha podido tener?

Problema 2 (2'13") Sinopsis:

¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido, podemos forma con las letras de la palabra ORDENADOR?

Problema 3 (1'40") Sinopsis:

¿De cuántas maneras distintas podemos ordenar 3 bolas verdes, 2 rojas y 1 azul?

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa $VR_n^k\;$ , o bien $VR_{n,k}\;$ , al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y se pueden repetir los elementos.

Proposición

Las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$VR_{n,k}=n^k\;$

Demostración:

Demostración:

Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º también de n maneras (pues puedo repetirlo), el 3º también de n maneras, ..., y el k-ésimo, de n maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.

Ejemplos: Variaciones con repetición

Ejercicio 1 (0'44") Sinopsis:

Calcula $VR_{3,2}\;$

Ejercicio 2 (0'37") Sinopsis:

Calcula $VR_{5,2}\;$

Variaciones ordinarias

Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa $V_n^k\;$ , o bien $V_{n,k}\;$ , al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y no se pueden repetir los elementos.

Proposición

Las variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)$

Demostración:

Demostración:

Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º de (n-1) maneras distintas (pues no puedo repetir el anterior), el 3º de (n-2), ..., y el k-ésimo, de (n-k+1) maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.

Ejemplos: Variaciones ordinarias

Ejercicio 1 (1'12") Sinopsis:

Calcula $V_{6,2}\;$

Ejercicio 2 (1'26") Sinopsis:

Calcula $V_{9,4}\;$

Problema 1 (4'24") Sinopsis:

Cuántos números de tres cifras no repetidas se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6? ¿Cuántos son pares?¿Cuántos terminan en 45?

Problema 2 (1'53") Sinopsis:

En una competición participan 6 corredores pero sólo hay 3 premios distintos (1º, 2º y 3º). ¿De cuántas formas distintas pueden asignarse 3 los premios entre los 6 atletas?

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factoriales_y_n%C3%BAmeros_combinatorios_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

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Permutaciones con repetición

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