Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 08:34 24 sep 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Triángulo de Pascal)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión de 08:36 24 sep 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Triángulo de Pascal)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 84: Línea 84:
<math>(x-3)^5\;</math> <math>(x-3)^5\;</math>
|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/binomio-de-newton/binomio-de-newton |url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/binomio-de-newton/binomio-de-newton
-}} 
-{{Video_enlace_julioprofe 
-|titulo1=Ejercicio 2 
-|duracion=11'17" 
-|sinopsis=Desarrolla usando el triángulo de Tartaglia y por otro método: 
- 
-a) <math>(a+b)^6\;</math> 
- 
-b) <math>(x-y)^5\;</math> 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=W3idpDs9y4E&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=24 
}} }}
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Ejercicio 3+|titulo1=Ejercicio 2
|duracion=4'15" |duracion=4'15"
|sinopsis=Desarrolla la siguiente potencia usando el binomio de Newton: |sinopsis=Desarrolla la siguiente potencia usando el binomio de Newton:
Línea 104: Línea 94:
}} }}
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Ejercicio 4+|titulo1=Ejercicio 3
|duracion=4'19" |duracion=4'19"
|sinopsis=Desarrolla la siguiente potencia usando el binomio de Newton: |sinopsis=Desarrolla la siguiente potencia usando el binomio de Newton:
Línea 110: Línea 100:
:<math>(4-m)^3\;</math> :<math>(4-m)^3\;</math>
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=a7irZWthLb8&index=1&list=PLF5FF72F715845049 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=a7irZWthLb8&index=1&list=PLF5FF72F715845049
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=11'17"
 +|sinopsis=Desarrolla usando el triángulo de Tartaglia y por otro método:
 +
 +a) <math>(a+b)^6\;</math>
 +
 +b) <math>(x-y)^5\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=W3idpDs9y4E&list=PL9B9AC3136D2D4C45&index=24
}} }}
{{Video_enlace_matemovil {{Video_enlace_matemovil

Revisión de 08:36 24 sep 2017

Menú:
Enlaces internos Para repasar o ampliar Enlaces externos
Indice
Descartes
Manual Casio
 WIRIS
Geogebra
Calculadoras

Tabla de contenidos

(pág 45)

Binomio de Newton

ejercicio

Teorema: Fórmula del binomio de Newton

El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:

(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,


que podemos expresar de forma abreviada de la siguiente manera:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k

siendo{n\choose k}, los coeficientes binomiales.


Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karaji alrededor del año 1000.

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.
Aumentar
Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.

\begin{matrix} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}{1 \choose 1} \\ {2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4} \\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \end{matrix}\;

Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, en los siglos X y XI, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

También conocido como triángulo de Tartaglia, especialmente en Italia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77).

ejercicio

Propiedades

  1. Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella.
  2. Los coeficientes del desarrollo de (a+b)n se encuentran en la línea "n+1" del triángulo de Pascal.
  3. El triángulo de Pascal es simétrico.
  4. La suma de todos los valores de la fila "n" del triángulo de Pascal es igual a 2n.
Demostración:
  1. Esto es así porque {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}. [1]
  2. Esto es inmediato, por como está construido el triángulo de Pascal.
  3. Esto es así porque {n\choose {n-p}} = {n\choose p}. [2]
  4. Esto es debido a que, por el teorema del binomio aplicado a (1+1)n:

2^n = (1+1)^n= {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n}
[1] y [2] son propiedades de los coeficientes binomiales
Triángulo de Pascal para n=10.
Aumentar
Triángulo de Pascal para n=10.
Triángulo de Pascal para n=3.

video
Binomio de Newton
Tutorial (19'39")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la construcción del Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia y se aplica para el desarrollo de potencias de binomios. También se explica la relación con el Binomio de Newton.

Ejercicio 1 (8'19")     Sinopsis:

Desarrolla usando el triángulo de Tartaglia y números combinatorios:

(x-3)^5\;

Ejercicio 2 (4'15")     Sinopsis:

Desarrolla la siguiente potencia usando el binomio de Newton:

(x+1)^4\;
Ejercicio 3 (4'19")     Sinopsis:

Desarrolla la siguiente potencia usando el binomio de Newton:

(4-m)^3\;
Ejercicio 4 (11'17")     Sinopsis:

Desarrolla usando el triángulo de Tartaglia y por otro método:

a) (a+b)^6\;

b) (x-y)^5\;

Ejercicio 5 (15´23")     Sinopsis:

Desarrolla usando el triángulo de Tartaglia: (a+b)^5\;

Ejercicio 6 (10´08")     Sinopsis:

a) Halla el segundo término del desarrollo por el binomio de Newton de (2x^2+1)^6\;

b) Halla el coeficiente del quinto término del desarrollo por el binomio de Newton de (3a+b)^6\;

Ejercicio 7 (10´10")     Sinopsis:

a) Halla el término independiente del desarrollo por el binomio de Newton de \left( x^2+\cfrac{1}{x^2}\right)^6\;

b) La diferencia del número de términos de los binomios (a+b)^m\; y (a+b)^n\; es 2; y el producto de dichos binomios posee tres términos más que el primero. Halla "m" y "n".

Ejercicio 8 (16´49")     Sinopsis:

a) Si los coeficientes del primer y último término del desarrollo de P(x,y)=(2a^2x^2+ay^5)^{16}\; son iguales, halla el coeficiente del término 14.

b) Al desarrollar el binomio \left( \cfrac{x^m}{y^{n-10}}+\cfrac{y^{n+20}}{x} \right)^n\; se obtiene un único término central, cuya parte literal es x^{120}y^{720}\;. Halla el valor de m+n\;.

Ejercicio 9 (9´57")     Sinopsis:

Halla a^5+b^5\; sabiendo que a+b=\sqrt{5} y que a \cdot b=5.

wolfram
Binomio de Newton
wolfram

Actividad: Binomio de Newton

Halla el desarrollo de (a+b)7.

Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
expand (a+b)^7

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Binomio de Newton

(Pág. 45)

1b

1a,c; 2

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/F%C3%B3rmula_del_binomio_de_Newton_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda