Factoriales y números combinatorios (1ºBach)
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| - | {{Caja Amarilla|texto=Se llama '''coeficiente binomial''', y lo representaremos por <math> {n\choose k} </math>, al número de subconjuntos de <math>k\;</math> elementos escogidos de un conjunto con <math>n\;</math> elementos. También se suele decir que es el "número de [[Combinatoria#Combinaciones|'''combinaciones''']] de <math>n\;</math> elementos tomados de <math>k\;</math> en <math>k\;</math>" y, por tanto, que se le conozca también como "'''número combinatorio'''".}} | + | {{Caja Amarilla|texto=Sean {{sube|porcentaje=20|contenido=<math>n,m \in \mathbb{N} \ , n \ge m</math>}}. Se llama '''coeficiente binomial''', y lo representaremos por <math> {n\choose k} </math>, al número de subconjuntos de <math>k\;</math> elementos escogidos de un conjunto con <math>n\;</math> elementos. También se suele decir que es el "número de [[Combinatoria#Combinaciones|'''combinaciones''']] de <math>n\;</math> elementos tomados de <math>k\;</math> en <math>k\;</math>" y, por tanto, que se le conozca también como "'''número combinatorio'''".}} |
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| ===Propiedades de los números combinatorios=== | ===Propiedades de los números combinatorios=== | ||
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Tabla de contenidos |
(Pág. 43)
Factoriales
Se define el factorial de un número entero positivo "n" como
y se define, por convenio:
.
Tutorial (8'00") Sinopsis: Los 8 primeros minutos de este tutorial tratan sobre el factorial de un número y ejemplos.
Ejemplo 1 (0'56") Sinopsis:Calcula 10!
Ejemplo 2 (0'48") Sinopsis:Calcula 8!
Ejemplo 3 (0'47") Sinopsis:Calcula 5!
Ejemplos 4 (9'09") Sinopsis: Factorial de un número. Ejemplos.
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos ( permutaciones). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.
La notación matemática actual, 
, fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
Ejercicio 1 (10'06") Sinopsis: a) Halla "x": 
b) Halla "a": 
Ejercicio 2 (8'15") Sinopsis: a) Calcula 
sabiendo que 
b) Simplifica: 
Ejercicio 3 (13'30") Sinopsis: a) Halla "a": 
b) Halla "x": 
Actividad: Factoriales Calcula:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: a) 5! b) simplify n!/(n-1)!
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(Pág. 43)
Números combinatorios
Coeficiente binomial
Sean 
. Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por 
, al número de subconjuntos de 
elementos escogidos de un conjunto con 
elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de elementos tomados de en " y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".
Proposición
El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:
Demostración:
Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de
formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.
Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es
Multiplicando el numerador y el denominador por 
o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:
Propiedades de los números combinatorios
Propiedades
Demostración:
- En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el
) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
- En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
- Esta demostración no se da por su complejidad.
Tutorial 1 (6'01") Sinopsis:Tutorial sobre números combinatorios.
Tutorial 2 (8'00") Sinopsis: Los 8 últimos minutos de este tutorial tratan sobre números combinatorios.
Ejercicio 1 (1'32") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 2 (1'00") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 3 (1'07") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 4 (1'57") Sinopsis:Comprueba que: 
Ejercicio 5 (1'48") Sinopsis:Comprueba que: 
Ejercicio 6 (2'47") Sinopsis:Comprueba que: 
Ejercicio 7 (2'05") Sinopsis:Calcula: 
Actividad: Números combinatorios Calcula:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: a) C(6,4) b) C(n,n-1)
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