Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

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El valor absoluto o módulo de un número real a\; es el propio número a\;, si es positivo o nulo. Y su opuesto, -a\;, si es negativo. Es decir:

|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\; corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde a\; hasta el cero.

Propiedades del valor absoluto

ejercicio

Propiedades del valor absoluto

1.  |x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0
2.   \forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k
3.   \forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k
4.   \forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k
5.   |x \cdot y|= |x| \cdot |y|
6.   \forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n
7.   \left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}
8.   |x + y| \le |x|+|y|
9.   |x - y| \le |x|+|y|

ejercicio

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean x, y, z \in \mathbb{R}, se cumplen las siguientes propiedades:

1.  x<y \Rightarrow x+z<y+z
2.  x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z
3.  x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z
4.  x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}

Como consecuencia, en una inecuación:

  • Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
  • Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

Ecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento

Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k

(pág. 33)

Inecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento

Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

  •   \forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k
  •   \forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k

ejercicio

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) |x| \ge 3\;
b) |x-2|\le 3\;

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