Áreas y perímetros de figuras curvas (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Círculo
2 Corona circular
3 Sector circular
4 Elipse
5 Segmento de parábola
6 Actividades
- 6.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 195)

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Círculo

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot r$

Área:

$A=\pi \cdot r^2$

Elementos:

$r\;$ : radio.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Área de un circulo y longitud de una circunferencia

Tutorial 1 (5'13") Sinopsis:

Área de un circulo y longitud de una circunferencia.
Longitud de un arco de circunferencia y área del sector circular.
Ejemplos.

Tutorial 2 (9'43") Sinopsis:

Área de un circulo y longitud de una circunferencia. Ejemplos.

Tutorial 3 (19´44") Sinopsis:

El círculo, su área y su perímetro. Ejemplos

Tutorial 4a (Longitud de la circunferencia) (2'07") Sinopsis:

Cálculo del perímetro del círculo o longitud de la circunferencia.

Tutorial 4b (Área del círculo) (4'40") Sinopsis:

Cálculo del área del círculo.

Tutorial 5 (Longitud de la circunferencia) (4'40") Sinopsis:

La longitud de la circunferencia y el número Pi. ¿Cómo calcular el número Pi de forma aproximada?

Tutorial 6 (Longitud de la circunferencia) (13'42") Sinopsis:

La circunferencia y el círculo. Elementos de la circunferencia. El número pi y el perímetro del círculo. Ejemplos.

Tutorial 7 (Área del círculo) (1'00") Sinopsis:

Obtención del área del círculo como aproximación del área de un polígono.

Tutorial 8 (11'12") Sinopsis:

Área del círculo y perímetro de la circunferencia.

Problema 1 (1'39") Sinopsis:

Obtener el área de un círculo que posee un diámetro de 30 cm.

Problema 2 (1'33") Sinopsis:

Obtener el perímetro de un círculo que posee un radio de 3 m.

Problema 3 (1'53") Sinopsis:

Obtener el radio de un círculo que posee una circunferencia de 17.2788 pies.

Problema 4 (4'55") Sinopsis:

Una máquina de dulces hace monedas de chocolate circulares. El diámetro de cada monedas es de 16 milímetros. ¿Cuál es el área de cada moneda?

Problema 5 (9´05") Sinopsis:

Determinar el diámetro y el área de un círculo cuya circunferencia mide 188.4 cm

Problema 6 (6´40") Sinopsis:

Si tienes un cuadrado de 15 cm de lado, calcula las longitudes de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Problema 7 (1'33") Sinopsis:

Si un arco de 180º tiene por longitud 120 cm, calcula la longitud de la circunferencia.

Problema 8 (5'00") Sinopsis:

Si tienes una circunferencia circunscrita en un cuadrado de lado 8 cm, calcula su longitud y el perímetro del cuadrado.

Problema 9 (1'38") Sinopsis:

Una rueda de bicicleta tiene 45 cm de radio. Calcula la longitud que recorrerá la rueda después de 200 vueltas.

Problema 10 (4´21") Sinopsis:

Halla el área sombreada de la figura.

Ejercicio 11 (6´51") Sinopsis:

Halla el área sombreada de la figura.

Ejercicio 12 (4´18") Sinopsis:

Halla el área sombreada de la figura.

Problema 13 (4'34") Sinopsis:

Halla el área coloreada de la figura.

Acertijo (Problema del conejo bajo la cuerda) (4'56") Sinopsis:

Acertijo que plantea un problema similar al siguiente: Supongamos que la Tierra es esférica y que la rodeamos con una cuerda por el ecuador. Si alargamos esa cuerda un metro poniéndola como un círculo en torno a la Tierra. ¿Crees que habrá espacio suficiente para que pase un conejo por el hueco?

En el acertijo planteado en el video, la cuerda se alarga 20 m y nos pregunta si podríamos pasar por debajo de ella sin agacharnos.

Área y perímetro del círculo

Actividad 1: Longitud de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula de la longitud de la circunferencia de forma aproximada.

Actividad 2: Área del círculo Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del círculo "pelándolo".

Actividad 3: Longitud de la circunferencia Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se obtiene la longitud de la circunferencia. También podrás hacer unos tests.

Actividad 4: Aproximación de la longitud de la circunferencia y del área del círculo Descripción:

Actividades en las que podrás ver como se puede aproximar el área del círculo y la longitud de la circunferencia a partir del área y perímetro de polígonos regulares de muchos lados.

Actividad 5a Descripción:

Halla la longitud de un arco de circunferencia.

Actividad 5b Descripción:

¿Cuántos metros avanza una rueda de 30 cm de radio al dar una vuelta?

Actividad 5c Descripción:

El diámetro de un círculo mide 20 dm. ¿Cuántos decímetros cuadrados mide su área?

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo y la longitud de la circunferencia.

El círculo

Actividad: El círculo

a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.

b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.

c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18

π

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) circle radius 3m area

b) circle radius 3m perimeter

c) circle perimeter 18*pi m area

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Corona circular

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)$

Área:

$A=\pi \cdot (R^2-r^2)$

Elementos:

$r \ , R\;$ : radios respectivos.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

Área de la corona circular

Tutorial 1 (1'35") Sinopsis:

Fórmula del área de la corona circular. Ejemplo.

Tutorial 2 (4'58") Sinopsis:

Deducción de la fórmula del área de la corona circular. Ejemplo.

Problema 1 (2'19") Sinopsis:

Halla el área de una corona circular de radio mayor, 50 m, y radio menor, 15 m.

Problema 2 (3'21") Sinopsis:

Halla el área de una corona circular de radio mayor, 9 cm, y radio menor, 6 cm.

Perímetro de la corona circular (2'19") Sinopsis:

Halla el perímetro de una corona circular de radio mayor, 5 cm, y radio menor, 2 cm.

Área de la corona circular Descripción:

En esta escena podrás hallar el área de la corona circular.

La corona circular

Actividad: La corona circular

a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area

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Sector circular

Longitud del arco:

$l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}=r \cdot \theta$

Perímetro:

$P = l+2 \cdot r$

Área:

$A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}=\cfrac{l \cdot r}{2}=\cfrac{r^2 \cdot \theta}{2}$

Elementos:

$r\;$ : radio.

$l\;$ : arco.

$\alpha\;\!$ : ángulo (en grados sexagesimales).

$\theta\;\!$ : ángulo $\alpha\;$ (en radianes).

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Demostración:

La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.

$\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando el área del sector:

$A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, $\pi r^2\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.

$\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando la longitud del sector:

$L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, $2 \pi r\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Área del sector circular

Tutorial (4´37") Sinopsis:

Obtención del área de un sector circular. Ejemplo

Ejercicios 1 (11'37") Sinopsis:

Fórmula que permite calcular el área de un sector circular a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 1)

Ejercicios 2 (14'11") Sinopsis:

Fórmula que permite calcular el área de un sector circular a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 2)

Ejercicio 3 (11'39") Sinopsis:

Fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 3)

Ejercicio 4 (7´49") Sinopsis:

Halla el área sombreada de la figura.

Longitud del arco de circunferencia

Ejercicios 1 (16'15") Sinopsis:

Fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 1)

Ejercicios 2 (20'42") Sinopsis:

2 ejercicios que hacen uso de la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia. (Nivel 2)

Ejercicios 3 (14'19") Sinopsis:

2 ejercicios que hacen uso de la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia. (Nivel 3)

Área del trapecio circular (7'06") Sinopsis:

Deducción de la fórmula del área del trapecio circular. Ejemplo.

Área del sector circular y longitud de su arco Descripción:

En esta escena podrás hallar el área del sector circular y la longitud del arco de circunferencia correspondiente.

El sector circular

Actividad: El sector circular

a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) circular sector, radius 3m, angle 45º, area

b) circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter

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Elipse

Perímetro:

$P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,$

Área:

$A=\pi a b\;$

Elementos:

$a\;$ : semieje mayor.

$b\;$ : semieje menor.

Notas:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

La fórmula del perímetro es una aproximación obtenida por Ramanujan. Una fórmula exacta requiere del uso de series.

Área y perímetro de la elipse Descripción:

En esta escena podrás hallar el área y el perímetro aproximado de la elipse.

La elipse

Actividad: La elipse

Halla el área de una elipse cuyos semiejes miden 3 y 5 cm, respectivamente.

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

ellipse area, semimajor axis=5 cm, semiminor axis=3 cm

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Segmento de parábola

Área:

$A=\cfrac{2}{3} \,a \, b$

Elementos:

$a \, , b\;$ : Lados del rectángulo circunscrito.

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Actividades

Autoevaluación: Medida de áreas en el círculo Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de circulos, sectores, coronas y segmentos circulares.

Autoevaluación 1: Circunferencia y círculo Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la circunferencia y el círculo.

Autoevaluación 2: Problemas de áreas en el círculo Descripción:

Problemas sobre áreas del círculo, sector circular, corona circular, trapecio circular, segmento circular.

Problemas 1: Circunferencia y círculo Descripción:

Problemas resueltos sobre áreas del círculo, sector circular, corona circular, trapecio circular, segmento circular.

Problemas 2: Circunferencia y círculo Descripción:

Problemas resueltos sobre circunferencias y círculos.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Áreas de figuras curvas

(Pág. 195)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/%C3%81reas_y_per%C3%ADmetros_de_figuras_curvas_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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 ===Ejercicios propuestos===
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