Resolución de ecuaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Ecuación de segundo grado
2 Ecuaciones bicuadradas
3 Ecuaciones con fracciones algebaricas
4 Ecuaciones con radicales
5 Ecuaciones exponenciales
6 Ecuaciones logarítmicas
7 Ecuaciones factorizadas
8 Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2
9 Ejercicios
- 9.1 Ejercicios propuestos

(pág. 78)

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Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, $x\;\!$ , es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

Ejemplos [Mostrar]

La ecuación de segundo grado (3´38") Sinopsis:[Mostrar]

La ecuación de segundo grado Descripción: [Mostrar]

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

Ecuaciones de segundo grado: definición, resolución, propiedades. (16´21") Sinopsis: [Mostrar]

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Ecuación de segundo grado completa

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:[Mostrar]

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado resueltas [Mostrar]

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula [Mostrar]

Resolución de las ecuaciones de segundo grado [Mostrar]

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Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0 \;$ , al número:

$\triangle = b^2-4ac$

Proposición

Sea $\triangle$ el discriminante de una ecuación de segundo grado:

Si $\triangle <0$ , la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ , la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ , la ecuación tiene una solución (doble).

Demostración:[Mostrar]

Discriminante y número de soluciones [Mostrar]

Discriminate y número de soluciones [Mostrar]

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Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0\;\!$ , es incompleta, si $b=0\;$ ó $c=0\;$ :

Si $b=0:~ ax^2+c=0$

Si $c=0:~ ax^2+bx=0$

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

En el caso $b=0~ (ax^2+c=0 \;)$ , las soluciones se obtienen despejando $x\;$ :

$ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}$

En el caso $c=0~ (ax^2+bx=0)$ , las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:

$ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .$

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso b=0) [Mostrar]

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso c=0) [Mostrar]

Ecuaciones de segundo grado incompletas [Mostrar]

Ejercicios Descripción: [Mostrar]

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Ecuaciones bicuadradas

(pag. 78)

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

Resolución de la ecuación bicuadrada

El método para resolver una ecuación bicuadrada

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

consiste en hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado en "y".

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en "y", tenemos que averiguar el valor de la "x". Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá, como máximo, cuatro soluciones reales.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!$

b) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!$

c) $x^4 - 5x^2 = 0 \;\!$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones bicuadradas [Mostrar]

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Ecuaciones con fracciones algebaricas

(pág. 78)

Las ecuaciones con fracciones algebraicas, son aquellas en las que intervienen fracciones algebraicas y, por tanto, las incógnitas aparecen en algún denominador.

Resolución de las ecuaciones con fracciones algebraicas

Estas ecuaciones se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los polinomios de los denominadores y simplificando (se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador). De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

Ejercicio resuelto: Ecuaciones con fracciones algebraicas

Resuelve las ecuación: $\frac{6} {x}+ \frac{x+1} {x-2} = 6$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones con fracciones algebraicas [Mostrar]

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Ecuaciones con radicales

(pág. 79)

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de las ecuaciones radicales

Para resolver las ecuaciones con radicales hay que aislar las raices, una a una, e ir elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) $\sqrt{2x-3} +1=x\;\!$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones con radicales [Mostrar]

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Ecuaciones exponenciales

(pág. 79)

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias y también puede ser necesario usar logaritmos.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;$

b) $5^{x^2-5x+6}=1 \;$

c) $3^{1-x^2}=2\;$

d) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones exponenciales [Mostrar]

Tutorial 1 (22'26") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2a (2'32") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2b (5'32") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2c (11'17") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio 1 (6'30") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (5'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (7'29") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (6'39") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (6'23") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 6 (10'27") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 7 (8'47") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 8 (10'35") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 9 (8'39") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 10 (13'08") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 11 (6'52") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 12 (11'43") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 13 (4´04") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 14 (2´30") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 15 (5´44") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 16 (2´20") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 17 (4´02") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 18 (3´10") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 19 (4´38") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 20 (3´05") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 21 (2´43") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 22 (3´02") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 23 (4´50") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 24 (6´34") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 25 (6´52") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 26 (6´31") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 27 (10´55") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 28 (6´07") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicios: Ecuaciones exponenciales Descripción: [Mostrar]

Ecuaciones exponenciales [Mostrar]

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Ecuaciones logarítmicas

(pág. 80)

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Se deben comprobar siempre las soluciones en la ecuación de partida pues pueden obtenerse soluciones que no sean válidas, como puede verse en el ejemplo c) siguiente.

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $log \ x + log \ 50 = 3$

b) $5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32$

c) $2\, log \ x= log \ (10-3x)$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones logarítmicas [Mostrar]

Tutorial 1 (21'07") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2 (10'35") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio 1 (4'09") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (2'55") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (3'22") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (9'44") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (5'26") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 6 (7'05") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 7 (11'30") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 8 (10'41") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 9 (15'53") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 10 (10'53") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 11 (11'44") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 12 (6'49") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 13 (14'17") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 14 (7'51") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 15 (8'44") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 16 (10'26") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 17 (6´39") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 18 (8´55") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 19 (5´06") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 20 (7´29") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 21 (5´06") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 22 (9´33") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 23 (9´09") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 24 (3´04") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 25 (5´17") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 26 (4´53") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 27 (4´02") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 28 (4´08") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 29 (3´41") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 30 (5´56") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 31 (4´11") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 32 (7´08") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 33 (4´46") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 34 (5´07") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicios: Ecuaciones logarítmicas Descripción: [Mostrar]

Ecuaciones logarítmicas [Mostrar]

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Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

$(factor_1) \cdot (factor_2) \cdot \ \cdots \ \cdot (factor_n) = 0$

donde cada factor puede ser una expresión algebraica, logarítmica, exponencial, trigonométrica, o combinación de estas.

Resolución de las ecuaciones factorizadas

Como para que un producto de números reales sea cero basta con que uno de ellos sea cero, las soluciones se obtendrán igualando a cero cada uno de los factores y resolviendo la ecuación resultante. Dependiendo de como sea cada factor tendremos que aplicar alguna de las distintas técnicas estudiadas anteriormente.

Ejemplo: Ecuación factorizada

Resuelve la ecuación $x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!$

Solución:[Mostrar]

Ecuaciones factorizadas [Mostrar]

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Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2

En este apartado vamos a ver ecuaciones polinómicas de grado superior a 2, no bicuadradas, que requerirán del uso de la regla de Ruffini.

Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2 [Mostrar]

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Ejercicios

Problemas [Mostrar]

Despejar variables [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Resolución de ecuaciones

(Pág. 80 )

2a,c; 3a,c,f; 4a,b; 5; 6

2b,d; 3b,d,e; 4c,d,e,f

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones_%281%C2%BABach%29"

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Tabla de contenidos

Ecuación de segundo grado

Ecuación de segundo grado completa

Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Ecuaciones bicuadradas

Ecuaciones con fracciones algebaricas

Ecuaciones con radicales

Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones factorizadas

Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2

Ejercicios

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-*Definición de ecuación de segundo grado.
-*Fórmula para su resolución con su demostración.
-*Definición de discriminante de una ec. de segundo grado y su relación con el número de soluciones de ésta y con ejemplos de cada caso.
-*Factorización del polinomio de segundo grado a partir de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado.
-*Propiedades del producto y la suma de las raíces de la ecuación con su demostración.
-*Ecuaciones de segundo grado incompletas.
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+|sinopsis=Despeja "a", "b", "<math>\alpha</math>" y "<math>\beta</math>" en <math>\cfrac{sen \, \alpha}{a}=cfrac{sen \, \beta}{b}\;</math>
+}}
+{{Video_enlace_virtual
+|titulo1=Ejercicio 18
+|duracion=17'08"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WFKFMgrVXHg&list=PLo7_lpX1yruPlCZmxKPEXZ3tJfslLbw4A&index=13
+|sinopsis=Despeja "a", "b", "c" y "<math>\alpha</math>" en <math>a^2=b^2+c^2 - 2bc \, cos \, \alpha\;</math>
+}}
+{{Video_enlace_virtual
+|titulo1=Ejercicio 19
+|duracion=2'44"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0nWoXSRgVoo&index=14&list=PLo7_lpX1yruPlCZmxKPEXZ3tJfslLbw4A
+|sinopsis=Despeja "a" y "b" en <math>\sqrt{a}-b=c\;</math>
+}}
+{{Video_enlace_virtual
+|titulo1=Ejercicio 20
+|duracion=7'30"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=53lnVCA0sEA&index=15&list=PLo7_lpX1yruPlCZmxKPEXZ3tJfslLbw4A
+|sinopsis=Despeja "c" y "x" en <math>a=\cfrac{c^2}{\sqrt{1-x}}\;</math>
+}}
+{{Video_enlace_virtual
+|titulo1=Ejercicio 21
+|duracion=7'25"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=o82WubSIB5s&index=16&list=PLo7_lpX1yruPlCZmxKPEXZ3tJfslLbw4A
+|sinopsis=Despeja "x" e "y" en <math>\sqrt{\cfrac{x+2}{y}}=\sqrt{x+y}\;</math>
+}}
+{{Video_enlace_virtual
+|titulo1=Ejercicio 22
+|duracion=8'20"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qQB_nsQiSGc&index=17&list=PLo7_lpX1yruPlCZmxKPEXZ3tJfslLbw4A
+|sinopsis=Despeja todas las variables en <math>v=\cfrac{x_f-x_i}{t_f-t_i}\;</math>
+}}
+}}
+===Ejercicios propuestos===
 {{ejercicio
 |titulo=Ejercicios propuestos: ''Resolución de ecuaciones''
 |cuerpo=
-:(Pág. 80 )
+(Pág. 80 )
-:[[Imagen:red_star.png|12px]] 2a,c; 3a,c,f; 4a,b; 5; 6
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 2a,c; 3a,c,f; 4a,b; 5; 6
-:[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2b,d; 3b,d,e; 4c,d,e,f
+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2b,d; 3b,d,e; 4c,d,e,f
 }}