Probabilidad. Combinatoria

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Revisión de 16:02 30 jun 2007

Tabla de contenidos

1 Experimentos aleatorios
2 Espacio muestral
3 Sucesos
4 Operaciones con sucesos
5 Definición de probabilidad. Propiedades.
6 Probabilidad condicionada
7 Independencia de sucesos
8 Probabilidad total
9 Teorema de Bayes

Experimentos aleatorios

Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento.

Espacio muestral

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra $E$ .

Ejemplo: Espacio muestral

El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos

Solución:

$E = \left\{ \, 2, \, 3, \, 4 , \, 5, \, 6 , \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}$

Sucesos

Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral $E$ . Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.

Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por $S$ .

Ejemplo: Sucesos

En el ejemplo anterior, determina los sucesos de $E$ :

a)Salir múltiplo de 5. b)Salir número primo. c)Salir mayor o igual que 10.

Solución:

a)Salir múltiplo de 5: $A = \left\{ \, 5, \, 10 \, \right\}$

b)Salir número primo: $B = \left\{ \, 2, \, 3, \, 5, \, 7, \, 11 \, \right\}$

c)Salir mayor o igual que 10: $C = \left\{ \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}$

Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento.
Sucesos compuestos son los que estan formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por $\emptyset$ .

Operaciones con sucesos

Inclusión e igualdad de sucesos

Un suceso $A$ esta incluido ( contenido ) en otro suceso $B$ si todo suceso elemental de $A$ pertenece también a $B$ . Se representa por $A \subset B$ .
Dos suceso $A$ y $B$ son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Se representa por $A = B$ .

Unión de sucesos

Si tenemos dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de $A$ y $B$ al suceso que se realiza cuando lo hacen $A$ o $B$ . Se representa por $A \cup B$ .

Intersección de sucesos

Si tenemos dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de $A$ y $B$ al suceso que se realiza cuando lo hacen $A$ y $B$ . Se representa por $A \cap B$ .

Cuando $A \cap B =\emptyset$ , decimos que los sucesos $A$ y $B$ son incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que $A$ y $B$ son compatibles.

Sucesos contrarios

Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el conjunto imposible, decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.

Para un suceso cualquiera $A$ de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso $A$ al suceso que se verifica cuando no se verifica $A$ , y reciprocamente. Se representa: $\overline{A}$ .

En cualquier experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las propiedades mas significativas de los sucesos contrarios son:

$A \cup \overline{A} = E \qquad A \cap \overline{A} = \emptyset \qquad \overline{E} = \emptyset \qquad \overline{\emptyset} = E$

Algebra de Boole de sucesos

La union y la interseccion de sucesos verifican las propiedades conmutativa, asociativa, idempotente, simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción:

Definición de probabilidad. Propiedades.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli.

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

Definición de Laplace. En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

Números de casos favorables a A partido números de casos posibles

Ejemplo: Regla de Laplace

En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS

Solución:

P(As)=número de ases/número total de cartas=4/40=0.1

P(OROS)=número de oros/número total de cartas=10/40=0.25

Probabilidad condicionada

Llamamos probabilidad condicionada del suceso $B$ respecto del suceso $A$ , y lo denotamos por $\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right)$ al cociente

$\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \right) } { \mathrm{P} \left( \, A \, \right) }$

Ejemplo: Probabilidad condicionada

Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Solución:

Sean los sucesos

$A$ = "la suma de los puntos es siete" y

$B$ = "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso $B \left| \, A \, \right.$ es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas $\left( \, 3, \, 4 \, \right)$ y $\left( \, 4, \, 3 \, \right)$ . Por tanto,

$\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}$

Ejercicios resueltos: Probabilidad condicionada

Independencia de sucesos

Decimos que dos sucesos $A$ y $B$ son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si:

$\mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, B \, \right) \qquad \mathrm{o} \qquad \mathrm{P} \left( \, A \, \left| \, B \, \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right)$

o lo que es lo mismo:

$A \quad \mathrm{y} \quad B \quad \ son \ independientes \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \right)$

Ejercicios:Independencia de sucesos

1.. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, con reemplazamiento, de una baraja española, sean todas copas.

Solución:

Como la carta extraída se vuelve a introducir, los sucesos son independientes y la probabilidad buscada es:

$\mathrm{P} \left( \, C_1 \, \cap C_2 \, \cap C_3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, C_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_2 \, \left| \, C_1 \, \right. \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_3 \, \left| \, C_1, \, C_2 \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, C_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_3 \, \right)$

$\, = \, \frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40}$

donde

C i

denota el suceso salir copas en la extracción número

i

2.. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, sucesivamente, de una baraja española, sean todas copas.

Solución:

En este caso, los sucesos

$C_1, \, C_2 \quad \mathrm{y} \quad C_3$ no son independientes.

$\mathrm{P} \left( \, C_1 \, \cap C_2 \, \cap C_3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, C_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_2 \, \left| \, C_1 \, \right. \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_3 \, \left| \, C_1, \, C_2 \, \right. \right) \, = \, \frac{10}{40} \cdot \frac{9}{39} \cdot \frac{8}{38}$

Probabilidad de aprobar cuando sólo se domina parte de la asignatura

Probabilidad de meter un gol en una tanda de penaltis

Probabilidad de obtener dos números pares lanzando dos dados

Probabilidad total

Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos $A 1, A 2,..., A n$ que cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, $A_i \cap A_j = \varnothing$

2. La unión de todos ellos es el suceso seguro, $\bigcup_{i=1}^{n} A_i = E$

Teorema de la probabilidad total:

Sea $A 1, A 2,..., A n$ un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces:

$\mathrm{P} \left( \, B \, \right) ={ \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) }$

Ejercicios:Probabilidad total

1.. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Solución:

El suceso "sufrir una avería" (B) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total, tenemos:

$\mathrm{P} \left( \, B \, \right) ={ \mathrm{P} \left( \, L_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, L_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, L_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, L_2 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, L_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, L_3 \, \right. \right) }$

=0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

2..Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?

Solución:

Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total tenemos:

$\mathrm{P} \left(\, M \, \right) ={ \mathrm{P} \left( \, F_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, M \, \left| \, F_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, F_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, M \, \left| \, F_2 \, \right. \right)}$
$\, + \, {\mathrm{P} \left( \, F_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, M \, \left| \, F_3 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, F_4 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, M \, \left| \, F_4 \, \right. \right) }$

= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028

3..Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?

Solución:

$\mathrm{P} \left( \, B \, \right) ={ \mathrm{P} \left( \, U_I \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, U_I \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_{II} \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, U_{II} \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_{III} \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, U_{III} \, \right. \right) }$

=1/4 · 2/5 + 2/4 · 4/5 + 1/4 · 3/5 = 13/20

Teorema de Bayes

Sean $A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,$ sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea $B$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $\mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right)$ .
Entonces las probabilidades $\mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right)$ vienen dadas por la expresión:

$\mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) } { \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) }$

Demostración
Por definición de probabilidad condicionada

$\mathrm{P} \left( \, A_i \, \cap \, B \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, B \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right)$
despejando $\mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right)$ , se tiene:
$\mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) } { \mathrm{P} \left( \, B \, \right) }$
La probabilidad $\mathrm{P} \left( \, B \, \right)$ , por el teorema de la probabilidad total, es igual a

$\mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right)$
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.

Ejemplo:Teorema de Bayes

Tenemos tres urnas: $U 1$ con tres bolas rojas y cinco negras, $U 2$ con dos bolas rojas y una negra y $U 3$ con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna $U 1$ ?

Solución:

Llamamos $R$ al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es $\mathrm{P} \left( \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. \right)$ . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

$\mathrm{P} \left( \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. \right) \, = \, \frac {\mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) }{ \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_2 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_3 \, \right. \right) }$

$\, = \, \frac { \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} } { \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} }$

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