Probabilidad. Combinatoria

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Tabla de contenidos

Experimentos aleatorios

Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento.


Espacio muestral

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra   E .


ejercicio

Ejemplo: Espacio muestral


El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos


ejercicio

Ejercicios:Espacio muestral


1.Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Lanzar tres monedas.

b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Sucesos

Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral   E . Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.

Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por   S .

Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n


ejercicio

Ejemplo: Sucesos


En el ejemplo anterior, determina los sucesos de  E:

a)Salir múltiplo de 5. b)Salir número primo. c)Salir mayor o igual que 10.


Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento.
Sucesos compuestos son los que estan formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por   \emptyset .

Operaciones con sucesos

Inclusión e igualdad de sucesos

Un suceso   A   esta incluido ( contenido ) en otro suceso   B   si todo suceso elemental de   A   pertenece también a   B . Se representa por   A \subset B .
Dos suceso   A   y   B   son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Se representa por   A = B .


Unión de sucesos

Si tenemos dos sucesos   A   y   B   de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de   A   y   B   al suceso que se realiza cuando lo hacen   A   o   B . Se representa por   A \cup B .


Intersección de sucesos

Si tenemos dos sucesos   A   y   B   de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de   A   y   B   al suceso que se realiza cuando lo hacen   A   y   B . Se representa por   A \cap B .

Cuando   A \cap B =\emptyset  , decimos que los sucesos   A   y   B   son incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que   A   y   B   son compatibles.


Sucesos contrarios

Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el conjunto imposible, decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.

Para un suceso cualquiera   A   de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso   A   al suceso que se verifica cuando no se verifica   A ,   y reciprocamente. Se representa:   \overline{A} .

En cualquier experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las propiedades mas significativas de los sucesos contrarios son:

A \cup \overline{A} = E \qquad A \cap \overline{A} = \emptyset \qquad \overline{E} = \emptyset \qquad \overline{\emptyset} = E


Algebra de Boole de sucesos

La union y la interseccion de sucesos verifican las propiedades conmutativa, asociativa, idempotente, simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción:

Image:tabla.gif

Tambien se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan:

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:

\overline{A \cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}

El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

\overline{A \cap B}= \overline{A} \cup \overline{B}


ejercicio

Ejercicios:Operaciones con sucesos


1. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes:

a) Calcula los sucesos A \cup B y A \cap B.

b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.

c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Definición de probabilidad. Propiedades.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli.

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.


ejercicio

Actividades Interactivas: Probabilidad


Actividad 1.Ley de los grandes números


Regla de Laplace

Definición de Laplace. En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

P(A)= \frac{Casos\ favorables\ a\ A} {Total\ casos\ posibles}


ejercicio

Video: Las Leyes del Azar (13´)


Combinatoria

A veces es necesario conocer solo el número de casos favorables y posibles. Y sobre todo cuando son valores grandes (número de quinielas distintas, de primitivas..etc.) se recomienda tener ciertos fundamentos de Combinatoria y utilizar para sus cálculos la calculadora estadística.

Combinatoria

Ejemplos Combinatoria

Calculadora estadística


ejercicio

Ejemplo: Regla de Laplace


En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS?

Definición axiomática

La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica:

1º. Cualquiera que sea el suceso A, P(A)\ge 0.
2º. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.

A \cap B = \varnothing \RightarrowP(A \cup B) = P(A) + P(B).

3º. La probabilidad total es 1. P(E) = 1.



Propiedades

1. P( \bar A )= 1 - P(A)
2. P( \varnothing )= 0
3. Si A \subset B \Rightarrow P(A) \le P(B)
4. Si A1,A2,...,Ak son incompatibles dos a dos, entonces:

P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ....+ P(A_k)

5. P(A \cup B) = P(A) + P(B) -  P(A \cap B)


ejercicio

Ejercicios: Cálculo de probabilidades


1. En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas:

P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.

¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.

¿Cuántas cartas hay?
2. En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?

3. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:

a) Que las dos cifras sean iguales

b) Que su suma sea 11

c) Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13

4. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:

a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

5.Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8.

b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.

Probabilidad condicionada

Llamamos probabilidad condicionada del suceso   B   respecto del suceso   A , y lo denotamos por   \mathrm{P} \left(   \, B \left| \, A \, \, \right. \right)   al cociente

\mathrm{P} \left(   \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac {     \mathrm{P}   \left(     \, A \, \cap \, B   \right) } {   \mathrm{P}   \left(     \, A \,   \right) }


ejercicio

Ejemplo: Probabilidad condicionada


Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?


Ejercicios resueltos: Probabilidad condicionada

Independencia de sucesos

Decimos que dos sucesos   A   y   B   son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si:

\mathrm{P} \left(   \, B \, \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left(   \, B \,  \right) \qquad \mathrm{o} \qquad \mathrm{P} \left(   \, A \, \left| \, B \, \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left(   \, A \,  \right)


o lo que es lo mismo:


A \quad \mathrm{y} \quad B \quad \ son \ independientes \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{P} \left(   \, A \, \cap \, B \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left(   \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left(   \, B \, \right)


ejercicio

Ejercicios:Independencia de sucesos


1.. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, con reemplazamiento, de una baraja española, sean todas copas.
2.. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, sucesivamente, de una baraja española, sean todas copas.


Probabilidad de aprobar cuando sólo se domina parte de la asignatura

Probabilidad de meter un gol en una tanda de penaltis

Probabilidad de obtener dos números pares lanzando dos dados

Probabilidad total

Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1,A2,...,An que cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos,A_i \cap A_j = \varnothing
2. La unión de todos ellos es el suceso seguro, \bigcup_{i=1}^{n} A_i = E

Teorema de la probabilidad total:

Sea A1,A2,...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces:

\mathrm{P}   \left(     \, B \,   \right)  ={   \mathrm{P}   \left(     \, A_1 \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_1 \, \right.   \right)   \, + \,   \mathrm{P}   \left(     \, A_2 \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_2 \, \right.   \right)   \, + \, \ldots \, + \,    \mathrm{P}   \left(     \, A_n \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_n \, \right.   \right) }


ejercicio

Ejercicios:Probabilidad total


1.. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
2..Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?
3..Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?


Teorema de Bayes

Sean   A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,   sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea   B   un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   \mathrm{P} \left(   \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) .
Entonces las probabilidades   \mathrm{P} \left(   \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right)   vienen dadas por la expresión:

\mathrm{P} \left(   \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right) \, = \, \frac {   \mathrm{P}   \left(     \, A_i \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_i \, \right.   \right) } {   \mathrm{P}   \left(     \, A_1 \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_1 \, \right.   \right)   \, + \,   \mathrm{P}   \left(     \, A_2 \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_2 \, \right.   \right)   \, + \, \ldots \, + \,    \mathrm{P}   \left(     \, A_n \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_n \, \right.   \right) }


Demostración
Por definición de probabilidad condicionada

\mathrm{P} \left(   \, A_i \, \cap \, B \, \right) \, = \,  \mathrm{P} \left(   \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left(   \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left(   \, B \, \right) \cdot \mathrm{P} \left(   \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right)

despejando   \mathrm{P} \left(   \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right) , se tiene:
\mathrm{P} \left(   \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right) \, = \, \frac {   \mathrm{P}   \left(     \, A_i \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_i \, \right.   \right) } {   \mathrm{P}   \left(     \, B \,   \right) }

La probabilidad   \mathrm{P} \left(   \, B \, \right) , por el teorema de la probabilidad total, es igual a


\mathrm{P}   \left(     \, A_1 \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_1 \, \right.   \right)   \, + \,   \mathrm{P}   \left(     \, A_2 \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_2 \, \right.   \right)   \, + \, \ldots \, + \,    \mathrm{P}   \left(     \, A_n \,   \right)   \cdot \mathrm{P}   \left(     \, B \, \left| \, A_n \, \right.   \right)

Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.

ejercicio

Ejemplo:Teorema de Bayes


Tenemos tres urnas:   U1   con tres bolas rojas y cinco negras,   U2   con dos bolas rojas y una negra y   U3   con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   U1 ?


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