Plantilla:Potencias de números fraccionarios

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==Potencias de números racionales== ==Potencias de números racionales==
 +Las potencias cuya base es un número racional se definen de la misma manera que las que tienen como base un número entero.
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 +{{Videos: Potencia de un racional}}
===Potencias de exponente negativo=== ===Potencias de exponente negativo===
{{Def potencia exponente entero}} {{Def potencia exponente entero}}

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Potencias de números racionales

Las potencias cuya base es un número racional se definen de la misma manera que las que tienen como base un número entero.

video
Potencia de un número racional
Tutorial 1a (6'21")     Sinopsis:
  • Breve repaso de las potencias de base entera y exponente natural.
  • Potencias de base racional y exponente natural.
  • Potencias de exponente 0 y 1.
Tutorial 1b (12'45")     Sinopsis:

Cómo se calcula la potencia de una fracción. Ejemplos.

Tutorial 2: Potencia de exponente cero (1'35")     Sinopsis:

a^0 = 1 \ , \ \forall a \ne 0\;. Ejemplos.

Ejercicios (10'51")     Sinopsis:
  • Escribe en forma de potencia los siguientes productos:
1) \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2}\;
2) \cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5}\;
3) \cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3}\;

  • Escribe en forma de una única potencia:
4) \cfrac{6^7}{6^3}\;;          5) \cfrac{5^9}{5}\; ;          6) \cfrac{12^2}{12^0}\;
7) \cfrac{25}{16}\; ;          8) \cfrac{3^2}{5^2}\; ;          9) \cfrac{9}{4}\; ;          10) \cfrac{1000}{27}\;

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Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}

Como consecuencia:

ejercicio

Propiedad

\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)
.


ejercicio
Ejemplos: 

video
Potencias de exponente negativo
Tutorial 1 (6'44")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 2 (13'40")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 3 (0'43")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 4 (6'44")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'52")     Sinopsis:

a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;. Ejemplos.

Tutorial 6a (9'22")     Sinopsis:

Exponentes negativos. Ejemplos.

Tutorial 6b (4'39")     Sinopsis:

Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.

Ejercicio 1 (4'31")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 4^{-3} \cdot 4^5\;
b) a^{-4} \cdot a^2\;
c) \cfrac{12^{-7}}{12^{-5}}\;
d) \cfrac{x^{-20}}{x^5}\;
Ejercicio 2 (5'42")     Sinopsis:

Simplifica:

a) (3^{-8} \cdot 7^3)^{-2}\;
b) (a^{-2} \cdot 8^7)^2\;
c) \left( \cfrac{2^{-10}}{4^2} \right)\;
Ejercicio 3 (8'02")     Sinopsis:

Halla el valor de:

11) 100^{-1}\; ;          12) 100^{-3}\; ;          13) 10^{-4}\; ;          14) (10^{-3})^{-1}\;

15) (-3)^{-2}\; ;          16) 2^{-1}\; ;          17) \left( \cfrac{1}{2} \right)^{-1}\; ;          18) \left( \cfrac{1}{7} \right)^{-1}\; ;          19) \left( \cfrac{-1}{5} \right)^{-1}\;

video
Potencias de exponente negativo
Actividad 1     Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Actividad 2     Descripción:

Actividades sobre potencias de exponente negativo.

Actividad 3     Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) 3^{-5}\; b) 5^{-3}\; c) 7^{-2}\; d) 2^{-7}\;

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Autoevaluación 1a     Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).

Autoevaluación 1c     Descripción:

Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

Autoevaluación 1d     Descripción:

Potencias de exponentes enteros.

Autoevaluación 2a     Descripción:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación 2b     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

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Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

ejercicio
Ejemplos: 
Pulsa los botones para obtener ejemplos de cada tipo:

Click aquí si no se ve bien la escena

Click aquí si no se ve bien la escena

video
Propiedades de las potencias de números racionales
Tutorial 1 (27'46")     Sinopsis:

Tutorial muy completo que explica las propiedades básicas de las potencias con ejemplos resueltos sencillos y alguno más complejo.

Tutorial 2 (11'54")     Sinopsis:
  • Potencias de exponente entero de números racionales.
  • Propiedades.
  • Ejemplos
Tutorial 3a (6'20")     Sinopsis:

Producto de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.

Tutorial 3b (6'01")     Sinopsis:

Cociente de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.

Tutorial 3c (4'56")     Sinopsis:

Potencia de otra potencia de una fracción. Ejemplos.

Tutorial 3d (6'08")     Sinopsis:

Potencia de un producto de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 4a (3'00")     Sinopsis:

Producto de potencias de la misma base: a^n \cdot a^m=a^{m+n}\;. Ejemplos.

Tutorial 4b (2'32")     Sinopsis:

Cociente de potencias de la misma base: a^n : a^m=a^{m-n}\;. Ejemplos.

Tutorial 4c (1'58")     Sinopsis:

Potencia de otra potencia: (a^n)^m = a^{n \cdot m}\;. Ejemplos.

Tutorial 4d (2'48")     Sinopsis:

Potencia de un producto: (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\;. Ejemplos.

Tutorial 4e (2'48")     Sinopsis:

Potencia de un cociente: \left( \cfrac{a}{b} \right)^n = \cfrac{a^n}{b^n}\;. Ejemplos.

Tutorial 5a (8'12")     Sinopsis:
  • Potencias de exponente 1 y 0.
  • Producto y cociente de potencias de la misma base.
  • Potencia de un producto y de un cociente.
  • Potencia de otra potencia.
  • Ejemplos.
Tutorial 5b (6'26")     Sinopsis:
  • Potencias de base negativa.
  • Potencias de exponente negativo.
  • Ejemplos.
Ejemplos 1 (5'40")     Sinopsis:

Cálculos con potencias de exponente positivo.

Ejemplos 2 (3'35")     Sinopsis:

Cálculos con potencias de exponente negativo.

Ejemplos 3 (6'55")     Sinopsis:

Simplificaciones de operaciones con potencias.

Cálculos con potencias de fracciones:

Ejercicio 1 (10'49")     Sinopsis:

Calcula:

20) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^9 ;          21) \left( \cfrac{-3~}{2} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-3~}{2} \right)^3 ;          22) \left( \cfrac{3}{5} \right)^6 \cdot \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2}

23) \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-3} ;          24) \left( \cfrac{1}{4} \right)^5 \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-3} ;          25) \left( \cfrac{2}{3} \right)^7 \cdot \left( \cfrac{2}{3} \right)^{-3}

26) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-4} \cdot \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^8 ;          27) \left( \cfrac{2}{13} \right)^{-7} \cdot \left( \cfrac{2}{13} \right)^9 ;          28) \left( \cfrac{1}{9} \right)^7 \cdot \left( \cfrac{1}{9} \right)^{-6}

Ejercicio 2 (8'36")     Sinopsis:

Calcula:

29) \left( \cfrac{3}{4} \right)^3 : \left( \cfrac{3}{4} \right)^2 ;          30) \left( \cfrac{4}{3} \right)^{-2} : \left( \cfrac{4}{3} \right)^4 ;          31) \left( \cfrac{3}{7} \right)^6 \cdot \left( \cfrac{3}{7} \right)^4

32) \left( \cfrac{2}{5} \right)^{-2} : \left( \cfrac{2}{5} \right)^6 ;          33) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-5} : \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-3} ;          34) \left( \cfrac{-1~}{7} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-1~}{7} \right)^{-3}

Ejercicio 3 (10'26")     Sinopsis:

Calcula:

35) \left[ \left( \cfrac{-3~}{7} \right)^2 \right]^3 ;          36) \left[ \left( \cfrac{2}{3} \right)^3 \right]^5 ;          37) \left[ \left( \cfrac{3}{4} \right)^2 \right]^4
38) \left[ \left( \cfrac{2}{5} \right)^3 \right]^2 ;          39) \left[ \left( \cfrac{2}{3} \right)^{-2} \right]^{-3};          40) \left[ \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2} \right]^{-7}
41) \left[ \left( \cfrac{-3~}{4} \right)^{-2} \right]^{-5} ;          42) \left[ \left( \cfrac{-2~}{7} \right)^3 \right]^{-2} ;          43) \left[ \left( \cfrac{-2~}{7} \right)^{-1} \right]^3
44) \left[ \left( \cfrac{2}{5} \right)^{-3} \right]^{-2} ;          45) \left[ \left( \cfrac{-2~}{5} \right)^{-3} \right]^{-2} ;          46) \left[ \left( \cfrac{-1~}{8} \right)^{-2} \right]^{-3}
Ejercicio 4 (5'28")     Sinopsis:

Escribe como varias potencias:

47) \left( \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{6}{5}\right)^2
48) \left( \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{6}{25} \cdot \cfrac{5}{9}\right)^3
49) \left( \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{5}{7} \cdot \cfrac{8}{6}\right)^3
50) \left[ \cfrac{1}{3} \cdot \left( \cfrac{-2~}{5} \right) \cdot \left( \cfrac{-2~}{2} \right) \right]^2
51) \left[ \cfrac{2}{3} \cdot \left( \cfrac{-5~}{4} \right) \cdot \cfrac{8}{5} \cdot \left( \cfrac{-5~}{2} \right) \right]^{-3}
Ejercicio 5 (13'54")     Sinopsis:

Escribe como una sola potencia:

52) \left( \cfrac{2}{5} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{7} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{9}{11} \right)^2
53) \left( \cfrac{1}{3} \right)^3 \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \cfrac{5}{6} \right)^3
55) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{5}{4} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{-3~}{5} \right)^2
56) \left( \cfrac{-2~}{5} \right)^{-3} \cdot \left( \cfrac{1}{3} \right)^{-3} \cdot \left( \cfrac{5}{4} \right)^{-3}
57) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{1}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{3}{4} \right)^{-2}
58) \left( \cfrac{2}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \cfrac{-3~}{5} \right)^{-1} \cdot \left( \cfrac{5}{7} \right)^{-1}
Ejercicio 6 (9'43")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \left[\left(\cfrac{3}{5} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{9}{25} \right)^2 \right]^3
b) \left[\cfrac{16}{9} \cdot \left(\cfrac{56}{27} \right)^{-1} \right] \cdot \left(\cfrac{14}{9} \right)^3 \cdot \left(\cfrac{7}{12} \right)^{-2}
Ejercicio 7 (4'05")     Sinopsis:

Simplifica \cfrac{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^5 \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-2}}{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^6}

Ejercicio 8 (2'08")     Sinopsis:

Simplifica: \left[ \left( \cfrac{1}{3} \right)^{10} : \left( \cfrac{1}{3} \right)^7 \right]^2

Cálculos con potencias dentro de fracciones:

Ejercicio 1 (10'23")     Sinopsis:

Calcula:

59) \cfrac{3^2 \cdot 3^3 \cdot 3}{3^4}\;
60) \cfrac{4^{-1} \cdot 4^{-3}}{4^{-2} \cdot 4^{-5}}\;
61) \cfrac{2 \cdot 2^{-3}}{2^{-2}}\;
62) \cfrac{(-2)^{-3} \cdot (-2)^5 \cdot (-2)}{(-2)^{-1} \cdot (-2)^3}\;
Ejercicio 2 (7'23")     Sinopsis:

Calcula:

63) \cfrac{2^2 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5}{2^4 \cdot 2^{-1}}\;
64) \cfrac{6^{-1} \cdot (6^5)^2}{6^2 \cdot 6^3}\;
65) \cfrac{4^{-1} \cdot 4^{-3}}{4^{-2} \cdot 4^{-4}}\;
66) \cfrac{(-3)^{-2} \cdot (-3)^{-3}}{\left[ (-3)^2 \right]^{-2}}\;
Ejercicio 3 (3'37")     Sinopsis:

Simplifica: \left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2

Ejercicio 4 (3'42")     Sinopsis:

Simplifica: \left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3

Ejercicio 5 (3'40")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}

Ejercicio 6 (2'47")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}

Ejercicio 7 (17'31")     Sinopsis:

Simplifica y expresa la solución como una única potencia:

a) \cfrac{9^3 \cdot 27}{81}

b) (27^3 \cdot 9^{-1}) : (81 \cdot 9^3)^{-2}

c) \cfrac{16 \cdot 8^6 \cdot 2^{-3}}{(2^{-1})^{-3} \cdot 4}

d) 6^4 \cdot 12 \cdot 9^2

e) a) \cfrac{5^2 \cdot (10^3)^2 \cdot 2^{-2}}{40^{-2} \cdot 10 \cdot 25}

Ejercicio 8 (14'41")     Sinopsis:

Simplifica y expresa la solución como una única potencia:

a) 4^4 \cdot 15^4 :6^4

b) 7^3 \cdot 2^{12}

c) 6^6 : 2^6 \cdot 81

d) 10^8 : (8^2 \cdot 2^2)

e) 6^6 \cdot 8^4 : 9^3

f) \cfrac{4^6 \cdot 9^3}{12^5}

Ejercicio 9 (11'39")     Sinopsis:

Simplifica:

a)\cfrac{9^3 \cdot 3^6 \cdot 81^2}{27^5 \cdot 3^2}
b)\cfrac{15^6 \cdot 12^4}{10^5 \cdot 3^6 \cdot 81}
Ejercicio 10 (13'13")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \cfrac{5^{13} \cdot 5^{17}}{5^{11} \cdot 5^{16} \cdot 5^1}
b) \cfrac{(-4)^6 \cdot (-4)^5 \cdot (-4)^{20} \cdot (-4)^3}{(-4)^8 \cdot (-4)^{19} \cdot (-4)^4}
c) \left[ \cfrac{( 2^3 \cdot 2^6)^{-2} \cdot (3^4)^3 \cdot 3 }{( 2^6 \cdot 2^{10})^{-1}\cdot (3^6 \cdot 3^2 \cdot 3^5)}\right]^{10}

Cálculos de diversos tipos:

Ejercicio 1 (10'06")     Sinopsis:

Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.

Exponente positivo:

a) \left( \cfrac{2}{5} \right)^3 ;         b) \left( \cfrac{-3}{7} \right)^2 ;         c) \left( \cfrac{-5}{3} \right)^3 ;         d) \cfrac{4^3}{3} ;         e) -\cfrac{5^2}{8}

Exponente negativo:

f) \left( \cfrac{2}{5} \right)^{-3} ;         g) \left( -\cfrac{3}{7} \right)^{-2} ;         h) \left( \cfrac{-5}{3} \right)^{-3} ;         i) 4^{-3}\; ;         j) -\cfrac{2^{-3}}{3}

Operaciones combinadas:

k) \cfrac{5^2}{3} \cdot \left( \cfrac{4}{18} \right)^{-1} : 5 ;         l) \cfrac{6}{10} \cdot \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2} : \left( \cfrac{5}{2} \right)^2 \cdot 2^{-1}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Potencias_de_n%C3%BAmeros_fraccionarios"
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