Plantilla:Números compuestos y números primos

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#''Primer paso'': listar los [[número natural|números naturales]] comprendidos entre 2 y 20. #''Primer paso'': listar los [[número natural|números naturales]] comprendidos entre 2 y 20.
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:2. ''Segundo paso'': Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo. :2. ''Segundo paso'': Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo.
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:3. ''Tercer paso'': Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo. :3. ''Tercer paso'': Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo.
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:4. ''Cuarto paso'': Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos. :4. ''Cuarto paso'': Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.
:Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso: :Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso:
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:5. ''Quinto paso:'' En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Se tachan sus múltiplos. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados. :5. ''Quinto paso:'' En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Se tachan sus múltiplos. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados.

Revisión de 08:49 17 nov 2017

  • Un número primo es un número natural, mayor que 1, que sólo tiene dos divisores: él mismo y el 1.
  • Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

ejercicio

Propiedad

  • Un número compuesto puede ponerse como producto de dos números distintos de él y la unidad.
  • Este proceso se puede repetir, con cada uno de los factores, hasta que el número quede descompuesto en producto de factores primos. A esto se le llama descomponer un número en factores primos.

Números primos menores que 100
Aumentar
Números primos menores que 100

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n, que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

ejercicio

Procedimiento

Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera:

  • Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos.
  • Comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente.
  • El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número declarado como primo es mayor que n. Tras haber tachado sus múltiplos, los número que quedan sin tachar son todos los primos entre 2 y n.

Animación de la criba de Eratóstenes para números primos menores que 120. Se incluye la optimización de comenzar por los cuadrados de números primos.
Aumentar
Animación de la criba de Eratóstenes para números primos menores que 120. Se incluye la optimización de comenzar por los cuadrados de números primos.

Determinemos, mediante el siguiente ejemplo, el proceso para determinar la lista de los números primos menores de 20.

  1. Primer paso: listar los números naturales comprendidos entre 2 y 20.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2. Segundo paso: Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3. Tercer paso: Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

4. Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.
Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso:

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" |----- | bgcolor="#ff0000" | 2 || bgcolor="#0000ff" | 3 | 4 | bgcolor="#d1c4ad" | 5 | 6 | bgcolor="#d1c4ad" | 7 | 8 | 9 | 10 | bgcolor="#d1c4ad" | 11 | 12 | bgcolor="#d1c4ad" | 13 | 14 | 15 | 16 | bgcolor="#d1c4ad" | 17 | 18 | bgcolor="#d1c4ad" | 19 | 20 |}

5. Quinto paso: En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Se tachan sus múltiplos. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados.
Como resultado se obtienen los números primos comprendidos entre 2 y 20, y estos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Optimización del método: Al seguir este método de búsqueda de primos, cada vez que marcamos un número como primo, no es necesario empezar a buscar sus múltiplos desde el más pequeño, sino desde su cuadrado, pues todos los anteriores ya habrían sido eliminados por ser múltiplos de primos más pequeños.

Cómo averiguar si un número es primo

ejercicio

Procedimiento para ver si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

ejercicio

Ejemplo: Averiguar si un número es primo

Averigua si el número 167 es primo.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:N%C3%BAmeros_compuestos_y_n%C3%BAmeros_primos"
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