Ecuaciones de segundo grado

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-==Ecuación de segundo grado==+{{Ecuación de segundo grado: definición y resolución}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación de segundo grado con una incógnita''' es aquella que se puede expresar de la forma:+
-<center><math>ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0</math></center>+
-que llamaremos '''forma general'''.+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +{{Ecuaciones de segundo grado incompletas}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuación de segundo grado''+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]
-|enunciado=Pasa a forma general la ecuación:+
-<center><math>3x-2x^2+5=-4x^2+3-x\;\!</math></center>+
-|sol=+
-Para ponerla en forma general, pasaremos todos los términos al miembro de la izquierda:+
-<center><math>3x-2x^2+5+4x^2-3+x=0\;\!</math></center>+
-Agrupando términos semejantes:+
-<center><math>2x^2+4x+2=0\;\!</math></center>+
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-==Resolución de la ecuación de segundo grado==+
-{{Teorema|titulo=''Fórmula de la ecuación de segundo grado''+
-|enunciado=Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:+
-<center><math>x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center>+
-donde el signo <math>(\pm)</math> significa que una solución se obtiene con el signo <math>(+)\;\!</math> y otra con el signo <math>(-)\;\!</math>.+
-|demo=+
-1. Se divide la ecuación por <math>a\;\!</math>:+
-<center><math>x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>+
- +
-2. Se multiplica y divide por <math>2\;\!</math> el coeficiente de la <math>x\;\!</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>+
- +
-3. Se suma alos dos miembros de la igualdad <math>\cfrac{b^2}{4a^2}</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}</math></center>+
- +
-4. Se pasa restando a la derecha <math>\cfrac{c}{a}</math>:+
-<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>+
- +
-5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de <math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2</math>:+
-<center><math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>+
- +
-6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:+
-<center><math>x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>+
- +
-7. Se despeja x:+
-<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>+
- +
-8. Se simplifica la expresión:+
-<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>+
- +
-}}{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Resolución de la ecuación de segundo grado''+
-|enunciado=+
-:Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.+
-|sol=+
-Pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos:+
- +
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-</iframe></center>+
-}}+
- +
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Resolución de una ecuación de segundo grado''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.+
-|actividad=+
-{{p}}+
-#Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.+
-#Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.+
-#Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".+
- +
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-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg22_3.html+
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-</iframe></center>+
-}}+
-}}+
- +
-==Discriminante de una ecuación de segundo grado==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-Llamamos '''discriminante''' de una ecuación de segundo grado a:+
-<center><math>\triangle = b^2-4ac</math></center>+
-por tanto:+
-*Si <math>\triangle <0</math> la ecuación no tiene solución.+
-*Si <math>\triangle >0</math> la ecuación tiene dos soluciones.+
-*Si <math>\triangle =0</math> la ecuación tiene una solución (doble).+
-}}+
-{{p}}+
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-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Discriminante de una ecuación de segundo grado''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones de segundo grado.+
-|actividad=+
-{{p}}+
-#Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.+
-#Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.+
-#Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.+
-#Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".+
- +
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-==Ecuaciones de segundo grado incompletas==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-Una ecuación de segundo grado <math>ax^2+bx+c=0\;\!</math> es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:+
-*<math>b=0\;\!</math>: <math>(ax^2+c=0\;\!)</math>+
-:En este caso las soluciones se obtienen despejando x:+
-<center><math>ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}</math></center>+
-*<math>c=0\;\!</math>: <math>(ax^2+bx=0\;\!)</math>+
-:En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:+
-<center><math>ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right . </math></center> +
-}}+
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-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones de segundo grado incompletas''+
-|enunciado=+
-:Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.+
-|sol=+
-Pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos:+
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-*'''Caso 1:''' <math>b=0\;\!</math>: <math>(ax^2+c=0\;\!)</math>+
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-*'''Caso 2:''' <math>c=0\;\!</math>: <math>(ax^2+bx=0\;\!)</math>+
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-==Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado==+
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Planteamiento y resolución de ecuaciones de segundo grado''|cuerpo=+
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-|enunciado='''Actividad 1:''' Un campo de fútbol deberá ocupar una superficie rectangular de 7.500 m², siendo el largo 25 m mayor que el ancho. Halla las dimensiones del campo.+
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-|enunciado='''Actividad 2:''' Quiero rodear una parcela de <math>750 m^2 \;\!</math> y <math>110 m \;\!</math> de perímetro, con una valla. ¿Cómo debo cortar los 110 m de valla para rodearla?+
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-==Ejercicios==+
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-|enunciado='''Actividad 1:''' El discriminante.+
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Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]
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Ecuación de segundo grado

  • Una ecuación de segundo grado con una incógnita, x\;\!, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0
  • Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

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Ecuación de segundo grado completa

ejercicio

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

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Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0 \;, al número:

\triangle = b^2-4ac

ejercicio

Proposición

Sea \triangle el discriminante de una ecuación de segundo grado:

  • Si \triangle <0, la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0, la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0, la ecuación tiene una solución (doble).

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Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0\;\!, es incompleta, si b=0\; ó c=0\;:

  • Si b=0:~ ax^2+c=0
  • Si c=0:~ ax^2+bx=0

ejercicio

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

  • En el caso b=0~ (ax^2+c=0 \;), las soluciones se obtienen despejando x\;:
ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}
  • En el caso c=0~ (ax^2+bx=0), las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .

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