Progresiones aritméticas

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-==Definición==+{{Progresiones aritméticas}}
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-Una '''progresión aritmética''' es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, <math>d\;\!</math>, que llamaremos '''diferencia'''. +
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-|enunciado=Sean <math>a_1, a_2, a_3, ..... \;\!</math>términos de una progresión aritmética de diferencia <math>d\;\!</math>. +
-Entonces, se cumple que:{{p}}+
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-En efecto, razonando por '''inducción''':+
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-<math>a4 = a3 + d = a1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!</math>+
- +
-........................+
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-|enunciado='''Actividad 1:''' Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones aritméticas.+
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-Pulsa "Nuevo" para que aparezcan otras progresiones.+
-<center>[http://contenidos.santillanaenred.com/wiris2007/html/ex-012.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-==Suma de términos de una progresión aritmética==+
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-La suma de los '''n''' primeros términos de una progresión aritmética es:+
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-El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:+
- +
-En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse.+
- +
-Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.+
- +
-Ese niño tenía 10 años y se llamaba '''Carl Friedrich Gaüs'''. Fue uno de los mas grandes matemáticos. +
- +
-''Intenta enterarte de algo más sobre él.''+
-[http://contenidos.santillanaenred.com/jukebox/servlet/GetPlayerP3V?p3v=true&xref=200412021153_PRE_0_-1491882652&mode=1&rtc=1001&locale=es&cache=false',600,400,'snrPop',0); Gauss y el ajedrez]+
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-==Ejercicios==+
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-|enunciado='''1.''' Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas.+
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-a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...+
-|sol= <math>a) \quad a_n=-2n+3 \qquad b)\quad a_n=3n-1 \qquad c)\quad a_n=2n-9</math>+
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-|enunciado='''2.''' Si <math>a_1=0\;\!</math> y <math>d = 3\;\!</math>, en una progresión aritmética, ¿cuánto vale <math>a_8\;\!</math>?+
-|sol= <math>a_n=3n-3; \qquad a_8=21</math>+
-}}+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado='''3.''' Si <math>a_{10}=14\;\!</math> y <math>d = -2\;\!</math>, calcular <math>a_1\;\!</math>.+
-|sol= <math>14=1_1+(14-1).(-2); \qquad a_1=40</math> +
-}}+
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-|enunciado='''4.''' Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.+
-|sol= <math>a_{10}=1555; \qquad S_{10}=\frac{(700+1555).10}{2}=11275</math> +
-}}+
- +
-}}+
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 +[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, d\;\!, que llamaremos diferencia.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} + d \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_aritmetica.png

es una progresión aritmética con diferencia d = 4\;.

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Término general de una progresión aritmética

ejercicio

Término general de una progresión aritmética

El término general, a_n\;\!, de una progresión aritmética de diferencia d\;\! es:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!

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Suma de términos de una progresión aritmética

ejercicio

Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}

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Actividades

ejercicio

Problema: Progresiones aritméticas

Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo (es decir, 795€ por el segundo metro,...).

a) ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado?

b) Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Progresiones_aritm%C3%A9ticas"
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