Funciones: Crecimiento. Variación. Máximos y mínimos

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-{{Menú Matemáticas 3ESO+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
-|ir=+|ir=
|ampliar= |ampliar=
-[http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/solucionlibro/unidad10.pdf Ejercicios 1]<br>[http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/funciones/teoriainterpretaciondegraficas/teoriainterpretaciondegraficas.htm Ejercicios 2]+|repasar=
-|repasar=[http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Coordenadas_cartesianas/Coordenadas_cartesianas.htm Coordenadas]+|enlaces=
-|enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29 Función]<br>[http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_de_funciones Lista de funciones]+
}} }}
{{p}} {{p}}
==Crecimiento y variación== ==Crecimiento y variación==
-{{Caja_Amarilla+{{Crecimiento y variación de una función}}
-|texto= +
-*Una función es '''creciente''' en un tramo cuando al aumentar la variable independiente <math>x</math> en ese tramo, aumenta la la variable dependiente <math>y</math>.+
-*Una función es '''decreciente''' en un tramo cuando al aumentar la variable independiente <math>x</math> en ese tramo, disminuye la la variable dependiente <math>y</math>.+
-}}{{p}}+
-{{Caja_Amarilla+
-|texto= +
-Se llama '''variación''' de una función a lo que varía la variable dependiente al variar la variable independiente}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Crecimiento y variación''+==Máximos y mínimos==
-|cuerpo=+{{Máximos y mínimos de una función}}
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Ejemplo de función creciente, decreciente y constante.+
-|actividad=+
-Observa las escenas y mueve el punto P. Vemos que en una la gráfica sube (crecimiento), en otra baja (decrecimiento) y en la última ni sube ni baja, es decir, permanece constante.+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/variacion1_1.html+
-width=100%+
-height=adjust+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Estudia el crecimiento y la variación de la siguiente función.+
-|actividad=+
-Observa la escena y mueve el punto P para contestar a las siguientes preguntas:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/variacion2_1.html+
-width=500+
-height=adjust+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-a) Indica en qué intervalos la función crece o decrece.<br>+
-b) Indica la variación de la función entre los valores x=-4 y x=0.+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +===Ejercicios===
 +{{Ejercicios de crecimiento y puntos extremos}}
-==Máximos y mínimos==+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]
-{{Caja Amarilla+
-|texto=+
-Una función <math>y = f(x)</math> tiene un '''máximo''' en un punto <math>(x_o,y_o)</math> cuando <math>y_o</math> es mayor que los valores que toma la variable <math>y</math> en un intervalo entorno al punto.+
-Una función <math>y = f(x)</math> tiene un '''mínimo''' en un punto <math>(x_o,y_o)</math> cuando <math>y_o</math> es menor que los valores que toma la variable <math>y</math> en un intervalo entorno al punto.+
-}}{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Crecimiento, máximos y mínimos''+
-|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=+
-1. Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid.+
-|actividad=+
-La siguiente gráfica muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. En el eje horizontal hemos representado las horas del día y en el eje vertical, las temperaturas. +
- +
-Cuando éstas aumentan decimos que la función es creciente. Cuando disminuyen, diremos que es decreciente. +
- +
-En aquellos puntos de la gráfica de una función donde pasa de ser decreciente a ser creciente decimos que alcanza un mínimo. En los puntos que pasa de ser creciente a ser decreciente alcanza un máximo. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_4.html+
-width=560+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-Haz click con el ratón en los puntos de la gráfica de los que quieras saber sus coordenadas y contesta:+
- +
-a) ¿Qué temperatura hizo a las 0 horas? ¿Y a las 10 horas? +
- +
-b) ¿A qué hora había 0º? +
- +
-c) ¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima del día?¿Cuál fue la temperatura máxima? +
- +
-d) ¿A qué hora se alcanzo la temperatura mínima del día? ¿Cuál fue la temperatura mínima? +
- +
-e) ¿En que periodo del día subió la temperatura? ¿En qué periodo bajó? ¿En qué periodos se mantuvo constante? +
- +
-f) ¿En qué período del día hubo una temperatura por debajo de 0º? +
- +
-g) Construye una tabla con las temperaturas que se registraron a lo largo del día. +
- +
-<table border="1" width="100%">+
- <tr>+
- <td width="8%"><strong>Hora</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>0</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>2</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>4</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>6</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>8</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>10</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>12</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>14</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>16</strong></td>+
- <td align="center" width="7%"><strong>18</strong></td>+
- <td align="center" width="7%"><strong>20</strong></td>+
- <td align="center" width="7%"><strong>22</strong></td>+
- <td align="center" width="7%"><strong>24</strong></td>+
- </tr>+
- <tr>+
- <td width="8%"><strong>Temperatura</strong></td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="7%">&nbsp;</td>+
- <td width="7%">&nbsp;</td>+
- <td width="7%">&nbsp;</td>+
- <td width="7%">&nbsp;</td>+
- </tr>+
-</table>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Construye una grafica que cumpla ciertas condiciones de crecimiento, de máximos y mínimos.+
-|actividad=+
-En la siguiente escena se representa la gráfica de una función creciente en el intervalo [0,8], decreciente en el intervalo [8,16] y creciente de nuevo en el intervalo [16,24]. La función alcanza un máximo en el punto B y un mínimo en el punto C. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_5.html+
-width=560+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-Arrastra los puntos A, B, C y D para representar gráficas con las siguientes características. En cada caso, escribe en tu cuaderno en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente: +
- +
-a) Pasa por los puntos (0,3) y (24,0), alcanza un máximo en el punto (8,6), un mínimo en el punto (16,-5). +
- +
-b) Pasa por el punto (0,5) y se mantiene constante en todo el intervalo [0, 8], alcanza un mínimo en (16, -1) y un máximo en (24,8). +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=3. Autoevaluación.+
-|actividad=+
-<center><iframe>+
-url=http://contenidos.santillanaenred.com/jukebox/servlet/GetPlayerP3V?p3v=true&xref=200412031131_AC_0_1931782083&mode=1&rtc=1001&locale=es&cache=false',750,540,'snrPop',0+
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-height=700+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-}}+
-===Ejercicios===+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios:''Crecimiento. Máximos y mínimos''+
-|cuerpo=+
-'''1. '''En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos.+
-<center>[[Imagen:funcion1d.png]]</center>+
-|sol=+
-En <math>[-4, -2]\;\!</math> la función es decreciente, en <math>[-2, 0]\;\!</math> es creciente, en <math>[0, 3]\;\!</math> es decreciente y en <math>[3, 5]\;\!</math> creciente.<br>+
-Tiene un máximo en (0,5) y mínimos en (-2,-3) y (3,-4).+
-}}+
-}}+

Revisión actual

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Crecimiento y variación

  • Una función es creciente en un intervalo I cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, aumenta la variable dependiente y\;.
\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)
  • Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, disminuye la variable dependiente y\;.
\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)
  • Una función es constante en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, la variable dependiente y\; no varía, siempre toma un mismo valor k\;.
f(x)=k \ , \forall x \in I

Se llama variación de una función f\; en un intervalo [a,b]\;, a lo que varía la variable dependiente de un extremo a otro del intervalo:

\Delta f_{[a,b]}=f(b)-f(a)\;

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Máximos y mínimos

  • Una función y = f(x)\; tiene un máximo relativo en un punto (x_o,y_o)\; cuando y_o\; es mayor que los valores que toma la variable y\; en un intervalo entorno al punto.
  • Una función y = f(x)\; tiene un mínimo relativo en un punto (x_o,y_o)\; cuando y_o\; es menor que los valores que toma la variable y\; en un intervalo entorno al punto.

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Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Crecimiento. Máximos y mínimos

1. En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos.

Imagen:funcion1d.png
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