Funciones: Crecimiento. Variación. Máximos y mínimos

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-{{Menú Matemáticas 3ESO+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
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-[http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/solucionlibro/unidad10.pdf Ejercicios 1]<br>[http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/funciones/teoriainterpretaciondegraficas/teoriainterpretaciondegraficas.htm Ejercicios 2]+|repasar=
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}} }}
{{p}} {{p}}
==Crecimiento y variación== ==Crecimiento y variación==
-{{Caja_Amarilla+{{Crecimiento y variación de una función}}
-|texto= +
-*Una función es '''creciente''' en un tramo cuando al aumentar la variable independiente <math>x</math> en ese tramo, aumenta la la variable dependiente <math>y</math>.+
-*Una función es '''decreciente''' en un tramo cuando al aumentar la variable independiente <math>x</math> en ese tramo, disminuye la la variable dependiente <math>y</math>.+
-}}{{p}}+
-{{Caja_Amarilla+
-|texto= +
-Se llama '''variación''' de una función a lo que varía la variable dependiente al variar la variable independiente}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Crecimiento y variación''+==Máximos y mínimos==
-|cuerpo=+{{Máximos y mínimos de una función}}
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Ejemplo de función creciente, decreciente y constante.+
-|actividad=+
-Observa las escenas y mueve el punto P. Vemos que en una la gráfica sube (crecimiento), en otra baja (decrecimiento) y en la última ni sube ni baja, es decir, permanece constante.+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/variacion1_1.html+
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-</iframe></center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Estudia el crecimiento y la variación de la siguiente función.+
-|actividad=+
-Observa la escena y mueve el punto P para contestar a las siguientes preguntas:+
- +
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-height=adjust+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-a) Indica en qué intervalos la función crece o decrece.<br>+
-b) Indica la variación de la función entre los valores x=-4 y x=0.+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +===Ejercicios===
 +{{Ejercicios de crecimiento y puntos extremos}}
-==Máximos y mínimos==+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]
-{{Caja Amarilla+
-|texto=+
-Una función <math>y = f(x)</math> tiene un '''máximo''' en un punto <math>(x_o,y_o)</math> cuando <math>y_o</math> es mayor que los valores que toma la variable <math>y</math> en un intervalo entorno al punto.+
-Una función <math>y = f(x)</math> tiene un '''mínimo''' en un punto <math>(x_o,y_o)</math> cuando <math>y_o</math> es menor que los valores que toma la variable <math>y</math> en un intervalo entorno al punto.+
-}}{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Crecimiento, máximos y mínimos''+
-|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=+
-1. Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid.+
-|actividad=+
-La siguiente gráfica muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. En el eje horizontal hemos representado las horas del día y en el eje vertical, las temperaturas. +
- +
-Cuando éstas aumentan decimos que la función es creciente. Cuando disminuyen, diremos que es decreciente. +
- +
-En aquellos puntos de la gráfica de una función donde pasa de ser decreciente a ser creciente decimos que alcanza un mínimo. En los puntos que pasa de ser creciente a ser decreciente alcanza un máximo. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_4.html+
-width=560+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-Haz click con el ratón en los puntos de la gráfica de los que quieras saber sus coordenadas y contesta:+
- +
-a) ¿Qué temperatura hizo a las 0 horas? ¿Y a las 10 horas? +
- +
-b) ¿A qué hora había 0º? +
- +
-c) ¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima del día?¿Cuál fue la temperatura máxima? +
- +
-d) ¿A qué hora se alcanzo la temperatura mínima del día? ¿Cuál fue la temperatura mínima? +
- +
-e) ¿En que periodo del día subió la temperatura? ¿En qué periodo bajó? ¿En qué periodos se mantuvo constante? +
- +
-f) ¿En qué período del día hubo una temperatura por debajo de 0º? +
- +
-g) Construye una tabla con las temperaturas que se registraron a lo largo del día. +
- +
-<table border="1" width="100%">+
- <tr>+
- <td width="8%"><strong>Hora</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>0</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>2</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>4</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>6</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>8</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>10</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>12</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>14</strong></td>+
- <td align="center" width="6%"><strong>16</strong></td>+
- <td align="center" width="7%"><strong>18</strong></td>+
- <td align="center" width="7%"><strong>20</strong></td>+
- <td align="center" width="7%"><strong>22</strong></td>+
- <td align="center" width="7%"><strong>24</strong></td>+
- </tr>+
- <tr>+
- <td width="8%"><strong>Temperatura</strong></td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="6%">&nbsp;</td>+
- <td width="7%">&nbsp;</td>+
- <td width="7%">&nbsp;</td>+
- <td width="7%">&nbsp;</td>+
- <td width="7%">&nbsp;</td>+
- </tr>+
-</table>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Construye una grafica que cumpla ciertas condiciones de crecimiento, de máximos y mínimos.+
-|actividad=+
-En la siguiente escena se representa la gráfica de una función creciente en el intervalo [0,8], decreciente en el intervalo [8,16] y creciente de nuevo en el intervalo [16,24]. La función alcanza un máximo en el punto B y un mínimo en el punto C. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_5.html+
-width=560+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-Arrastra los puntos A, B, C y D para representar gráficas con las siguientes características. En cada caso, escribe en tu cuaderno en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente: +
- +
-a) Pasa por los puntos (0,3) y (24,0), alcanza un máximo en el punto (8,6), un mínimo en el punto (16,-5). +
- +
-b) Pasa por el punto (0,5) y se mantiene constante en todo el intervalo [0, 8], alcanza un mínimo en (16, -1) y un máximo en (24,8). +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=3. Autoevaluación.+
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-<center><iframe>+
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-</iframe></center>+
-}}+
-}}+
-===Ejercicios===+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios: ''Crecimiento. Máximos y mínimos''+
-|cuerpo=+
-'''1. '''En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos.+
-<center>[[Imagen:funcion1d.png]]</center>+
-|sol=+
-En <math>[-4, -2]\;\!</math> la función es decreciente, en <math>[-2, 0]\;\!</math> es creciente, en <math>[0, 3]\;\!</math> es decreciente y en <math>[3, 5]\;\!</math> creciente.<br>+
-Tiene un máximo en (0,5) y mínimos en (-2,-3) y (3,-4).+
-}}+
-}}+

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Calculadora

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Crecimiento y variación

  • Una función es creciente en un intervalo I cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, aumenta la variable dependiente y\;.
\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)
  • Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, disminuye la variable dependiente y\;.
\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)
  • Una función es constante en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, la variable dependiente y\; no varía, siempre toma un mismo valor k\;.
f(x)=k \ , \forall x \in I

video
Crecimiento de una función
Tutorial 1 (2'50")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.

Tutorial 2 (7'10")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (12´24")     Sinopsis:

Conceptos de función creciente, decreciente y constante.

Ejercicio 1 (1'58")     Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (2'08")     Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'24")     Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'28")     Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

video
Crecimiento de una función
Actividad 1     Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Actividad 2     Descripción:

En esta escena podrás ver cuando una función es creciente, decreciente o constante.

Autoevaluación     Descripción:

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Se llama variación de una función f\; en un intervalo [a,b]\;, a lo que varía la variable dependiente de un extremo a otro del intervalo:

\Delta f_{[a,b]}=f(b)-f(a)\;

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Máximos y mínimos

  • Una función y = f(x)\; tiene un máximo relativo en un punto (x_o,y_o)\; cuando y_o\; es mayor que los valores que toma la variable y\; en un intervalo entorno al punto.
  • Una función y = f(x)\; tiene un mínimo relativo en un punto (x_o,y_o)\; cuando y_o\; es menor que los valores que toma la variable y\; en un intervalo entorno al punto.

video
Máximos y mínimos de una función
Tutorial 1 (1'59")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio de máximos y mínimos (relativos y absolutos) de una función dada su gráfica.

Tutorial 2 (8'08")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio de máximos y mínimos (relativos y absolutos) de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (5'51")     Sinopsis:

Conceptos de máximo y mínimo relativos.

Ejercicio 1 (2'17")     Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'12")     Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'10")     Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (3'45")     Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

video
Máximos y mínimos de una función
Actividad 1     Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar los máximos y mínimos de una función dada gráficamente.

Actividad 2     Descripción:

En esta escena podrás ver cuando una función alcanza un máximo o un mínimo.

Actividad 3     Descripción:

Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. Averigua sus máximos y mínimos relativos.

Actividad 4     Descripción:

Construye una gráfica que cumpla ciertas condiciones sobre los puntos por los que pasa. Se exigira, por ejemplo, que tenga máximos o mínimos en ciertos puntos, que tenga ciertos puntos de corte con los ejes, etc.

Actividad 5     Descripción:

Unos alumnos de E.S.O. disponen de una cuerda de 80 metros de longitud con la que quieren construir rectángulos en el patio de su centro.

  1. Haz una tabla de valores donde se relacione la base de los rectángulos y su área.
  2. Representa gráficamente la función.
  3. Halla una expresión que te permita calcular el área de cualquiera de esos rectángulos, conocida su base.
  4. ¿Cuál es el dominio de esta función?
  5. ¿Para qué valor del lado se consigue un rectángulo de área máxima? ¿Qué tiene de peculiar ese valor?
Autoevaluación 1     Descripción:

Máximos y mínimos relativos o locales.

Autoevaluación 2     Descripción:

Máximos y mínimos absolutos.

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Ejercicios

video
Interpretación de gráficas
Ejercicio 1 (3'50")     Sinopsis:

Interpreta la gráfica dada.

Ejercicio 2 (4'42")     Sinopsis:

Interpreta la gráfica dada.

Interpretación de gráficas     Descripción:

Problemas verbales de interpretación de gráficas.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Crecimiento. Máximos y mínimos

1. En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos.

Imagen:funcion1d.png
Solución:

  • Creciente: [-2, 0] \cup [3, 5]\;\!
  • Decreciente:[-4, -2] \cup [0, 3]\;\!
  • Máximo relativo:(0,5)\;
  • Mínimos relativos:(-2,-3) \ y \ (3,-4)
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