Figuras semejantes
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| - | De manera intuitiva, dos figuras son '''semejantes''' si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente. | + | |
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| - | Matematicamente, dos figuras semejantes cumplen: | + | |
| - | #Los ángulos correspondientes son iguales (misma forma). | + | |
| - | #Los segmentos correspondientes son proporcionales. | + | |
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| - | Se llama '''razón de semejanza''' o '''escala''', <math>r\;\!</math>, al cociente entre dos longitudes correspondientes. | + | |
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| - | |enunciado=1. Comprueba las propiedades de dos figuras semejantes. | + | |
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| - | Observa los dos polígonos de la figura. Se dice que son semejantes porque cumplen las dos condiciones antes mencionadas: | + | |
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| - | #Los ángulos correspondientes son todos iguales. | + | |
| - | #Los segmentos correspondientes son proporcionales. | + | |
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| - | En efecto, | + | |
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| - | 1. Los ángulos son iguales ya que los lados correspondientes son paralelos. | + | |
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| - | 2. Para comprobar que los lados son proporcionales usa los segmentos MN y XY que puedes mover libremente. Mide con ellos dos segmentos correspondientes AB y A'B' por ejemplo y calcula la razón de semejanza. | + | |
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| - | Mueve ahora el punto rojo para comprobar el valor de r. | + | |
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| - | ===Escala=== | + | |
| - | Ya hemos visto antes que escala y razón de semejanza significan lo mismo. El término escala suele utilizarse en planos o mapas. Así, por ejemplo, decimos que un plano está a escala 1:100 si 1 cm en el plano son 10 cm en la realidad. Es lo mismo que decir que la razón de semejanza entre la figura dibujada y la real es <math>r=\cfrac{1}{100}</math>. | + | |
| [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | ||
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Tabla de contenidos[esconder] |
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Figuras semejantes
- Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. Esto lo expresaremos matemáticamente diciendo que:
- Los segmentos correspondientes (homólogos) son proporcionales.
- Sus ángulos correspondientes (homólogos) son iguales.
- Al ser los segmentos homólogos proporcionales, se cumple que la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada razón de semejanza.
(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.
Ejemplos: Figuras semejantes
- Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm. Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.
- Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?
Solución:[Mostrar]
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Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes
Propiedades
Si dos figuras son semejantes y k es la constante de proporcionalidad, entonces:
- La razón entre sus áreas es k2.
- La razón entre sus volúmenes k3.
Ejemplos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes
- Comprueba que si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
- Comprueba que si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.
Solución:[Mostrar]
, la razón entre sus áreas es 
.
.
 Ejercicio: Relación entre las áreas de dos figuras semejantes En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23 cm de diámetro y es para una persona. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para 4 personas. ¿Nos están engañando? La respuesta en la siguiente actividad: |
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Escala
Cuando representamos una casa en un plano, un coche en una maqueta o la superficie terrestre en un mapa, estamos representando figuras semejantes a las reales. La razón de semejanza entre dichas figuras diremos que es la escala del mapa, de la maqueta o del plano.
La escala es el cociente entre la longitud de un segmento en la reproducción y el correspondiente segmento en la realidad. Esto es, la escala es la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad.
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Tipos de escalas
Existen tres tipos de escalas:
- Escala natural: Cuando el tamaño del objeto representado en el plano coincide con la realidad. (1:1).
- Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño del objeto en el plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (1:2 ó 1:5), planos de viviendas (1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor (1:50.000 ó 1:100.000).
- Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador. Ejemplos: 2:1 ó 10:1.
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Ejercicios
