Ecuaciones de segundo grado (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 108)

Ecuación de segundo grado

  • Una ecuación de segundo grado con una incógnita, x\;\!, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0
  • Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

Ecuación de segundo grado completa

ejercicio

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0 \;, al número:

\triangle = b^2-4ac

ejercicio

Proposición

Sea \triangle el discriminante de una ecuación de segundo grado:

  • Si \triangle <0, la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0, la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0, la ecuación tiene una solución (doble).

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de ecuaciones de segundo grado

(Pág. 108)

1a,c,f,h

1b,d,e,g

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0\;\!, es incompleta, si b=0\; ó c=0\;:

  • Si b=0:~ ax^2+c=0
  • Si c=0:~ ax^2+bx=0

ejercicio

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

  • En el caso b=0~ (ax^2+c=0 \;), las soluciones se obtienen despejando x\;:
ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}
  • En el caso c=0~ (ax^2+bx=0), las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones de segundo grado incompletas

(Pág. 109)

2

Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado

ejercicio

Propiedades

Si x_1\; y x_2\; son las raíces de la ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0\;, se cumplen las siguientes propiedades:

  • La suma de la raíces cumple:

x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\;

  • El producto de la raíces cumple:

x_1 \cdot x_2=\cfrac{c}{a}\;

  • La ecuación de segundo grado de partida es equivalente (mismas soluciones) a la siguiente ecuación factorizada:

(x-x_1)(x-x_2)=0\;

  • Si llamamos "s" a la suma de la raíces y "p" al producto, también es equivalente a:

x^2-sx+p=0\;

Factorización de polinomios de segundo grado

La tercera de las propiedades anteriores nos permite factorizar polinomios de segundo grado a partir de sus raíces:

Las dos primeras propiedades nos permiten factorizar algunos polinomios de segundo grado sin necesidad de utilizar la fórmula general para hallar las raíces:

A continuación veremos otro método para factorizar algunos polinomios de segundo grado:

Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado

ejercicio

Procedimiento

Para resolver una ecuación de segundo grado sigue los siguiente pasos:

  1. Lo primero que hay que hacer es ponerla en forma general. Para ello será necesario quitar denominadores, quitar paréntesis, simplificar, transponer y ordenar los términos.
  2. Una vez en forma general, si la ecuación es incompleta aplicaremos las técnicas explicadas para tal caso. Si la ecuación es completa usaremos la fórmula general.
  3. Una vez resuelta, opcionalmente podemos comprobar las soluciones, sustituyendo en la ecuación de partida.

ejercicio

Ejercicios resueltos:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. (2x-1)(3x-2)+(2x-3)^2=3(4x-4)-(x-2)^2+3\,

2. \cfrac{x^2+3}{6}+\cfrac{x^2-7}{4}=\cfrac{(x+4)^2}{2}-\cfrac{1-9x}{12}

3. \cfrac{x+3}{2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{x-3}{x}+\cfrac{7-x^2}{2x}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

(Pág. 110-111)

3a,b; 4

3c,d

Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

ejercicio

Ejercicios resueltos:

  1. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro cateto. Calcular la longitud de los tres lados.
  2. Con 14 m de listones puedo colocar un rodapié a lo largo de toda una habitación rectangular, sin que sobre nada. ¿Qué dimensiones tiene la habitación sabiendo que su superficie es de 12 m2?

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

(Pág. 112)

1, 2

Ejercicios

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