Plantilla:Factorización de polinomios usando identidades notables

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Las identidades notables son útiles para completar ciertas operaciones de forma rápida, pero una de sus aplicaciones más interesantes consiste en hacer lo contrario, deshacer cuentas. Son una potente herramienta para la descomposición y simplificación de expresiones algebraicas.

Ejemplos: Factorización de polinomios usando productos notables

Factoriza:

a) $4x^2-9 \;\!$

b) $x^2+4x+4 \;\!$

Solución:

Soluciones:

a) Al tratarse de un binomio cuyos términos están restando, sólo podemos ponerlo como diferencia de cuadrados. Extrayendo las raíces cuadradas de cada término tenemos:

$\left . \begin{matrix}\sqrt{4x^2}=2x \\ \sqrt{9}=3 \end{matrix} \right \} \ \rightarrow \ 4x^2-9=(2x+3)(2x-3) \!$

b) Al tratarse de un trinomio, buscaremos dos de sus términos que sean cuadrados perfectos y calcularemos su raíz cuadrada:

$\left . \begin{matrix}\sqrt{x^2}=x \\ \sqrt{4}=2 \end{matrix} \right \} \ \rightarrow \ x^2+4x+4 =(x+2)^2 \!$

Para confirmar que esa es la factorización, comprobaremos que el doble producto del primero por el segundo es igual al otro término:

$2 \cdot x \cdot 2 =4x\;$

En efecto, luego esa es la factorización.

Factorización de polinomios usando productos notables

Tutorial 1 (9'02") Sinopsis:

Factorización de polinomios usando productos notables. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'46") Sinopsis:

Factorización de polinomios usando productos notables. Ejemplos.

Tutorial 3a (12'55") Sinopsis:

Factorización de polinomios usando el trinomio cuadrado perfecto.

Tutorial 3b (1'53") Sinopsis:

Hasta el minuto 1'53": Factorización de polinomios usando diferencias de cuadrado.

Ejercicio 1 (11'34") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios en producto de factores usando identidades notables:

3a) $25x^4-\cfrac{1}{4}\;$

3b) $16x^2-\cfrac{9}{4}\;$

3c) $x^2-16x+64\;$

3d) $x^2-10x+25\;$

Ejercicio 2 (10'11") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios en producto de factores usando identidades notables:

3e) $x^4-9x^2\;$

3f) $x^6-16x^4\;$

3g) $36x^4-\cfrac{9}{4}\;$

Ejercicio 3 (5'06") Sinopsis:

Encuentra un binomio factor común de los polinomios siguientes: $m^2-4m-45\;$ y $6m^2-150\;$

Ejercicio 4 (4'57") Sinopsis:

Encuentra un binomio factor común de los polinomios siguientes: $4x^2+12x+9\;$ y $4x^2-9\;$

Ejercicio 5 (2'26") Sinopsis:

Factoriza: $25x^4-30x^2+9\;$

Ejercicio 6 (3'38") Sinopsis:

Factoriza: $x^2-49y^2\;$

Ejercicio 7 (3'12") Sinopsis:

Factoriza: $49x^2-49y^2\;$

Factorización de diferencias de cuadrados

Ejercicio 1 (2'14") Sinopsis:

Factoriza: $x^2-16\;$

Ejercicio 2 (2'00") Sinopsis:

Factoriza: $x^{20}-49\;$

Ejercicio 3 (2'12") Sinopsis:

Factoriza: $a^4-b^4\;$

Ejercicio 4 (2'20") Sinopsis:

Factoriza: $16a^4b^6-c^6\;$

Ejercicio 5 (1'52") Sinopsis:

Factoriza: $36x^2-1\;$

Ejercicio 6 (1'54") Sinopsis:

Factoriza: $x^2-\cfrac{4}{81}\;$

Ejercicio 7 (2'51") Sinopsis:

Factoriza: $\cfrac{25x^4}{a^6}-\cfrac{16a^4}{4m^2}\;$

Ejercicio 8 (2'20") Sinopsis:

Factoriza: $x^{6a}-y^{4b}\;$

Ejercicio 9 (2'49") Sinopsis:

Factoriza: $16x^{6a}-49y^{2b}\;$

Ejercicio 10 (3'55") Sinopsis:

Factoriza: $(x-1)^2-16y^2\;$

Ejercicio 11 (4'45") Sinopsis:

Factoriza: $(2x+1)^2-(y+5)^2\;$

Ejercicio 12 (5'16") Sinopsis:

Factoriza: $49x^4-4(x^2-3x)^2\;$

Ejercicio 13 (11'15") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomos usando diferencias de cuadrados:

1a) $x^2-4\;$

1b) $x^2-16\;$

1c) $x^2-25\;$

1d) $4x^2-16\;$

1e) $x^2-1\;$

1f) $100x^2-1\;$

1g) $9x^2-1\;$

1h) $16x^2-1\;$

Ejercicio 14 (11'51") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomos usando diferencias de cuadrados:

1i) $x^4-25\;$

1j) $25x^6-9\;$

1k) $81x^4-16x^2\;$

1l) $25x^6-81x^2\;$

Ejercicio 15 (4'22") Sinopsis:

Factoriza:

a) $49x^4y^2-64w^{10}z^{14}\;$

b)) $c^8-d^8\;$

Ejercicio 16 (3'24") Sinopsis:

Factoriza: $45x^2-125\;$

Ejercicio 17 (3'58") Sinopsis:

Factoriza: $16x^2-64\;$

Ejercicio 18 (6'34") Sinopsis:

Factoriza: $36y^3-100y\;$

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Ejercicio 1 (2'32") Sinopsis:

Factoriza: $x^2+6x+9\;$

Ejercicio 2 (1'57") Sinopsis:

Factoriza: $x^2-10x+25\;$

Ejercicio 3 (2'02") Sinopsis:

Factoriza: $49+x^2+14x\;$

Ejercicio 4 (2'00") Sinopsis:

Factoriza: $9a^2-30a+25\;$

Ejercicio 5 (2'00") Sinopsis:

Factoriza: $36+121c^2-132c\;$

Ejercicio 6 (1'19") Sinopsis:

Factoriza: $16a^2+24ab+9b^2\;$

Ejercicio 7 (1'22") Sinopsis:

Factoriza: $4a^2-20ab+25b^2\;$

Ejercicio 8 (1'19") Sinopsis:

Factoriza: $9a^2+6ab+b^2\;$

Ejercicio 9 (1'20") Sinopsis:

Factoriza: $4a^2-12ab+9b^2\;$

Ejercicio 10 (2'26") Sinopsis:

Factoriza: $a^2-24x^2a^3+144x^4a^4\;$

Ejercicio 11 (1'49") Sinopsis:

Factoriza: $100a^4-60a^2b+9b^2\;$

Ejercicio 12 (1'52") Sinopsis:

Factoriza: $a^8+36b^2c^2+12a^4bc\;$

Ejercicio 13 (1'43") Sinopsis:

Factoriza: $121+198a^6+81a^12\;$

Ejercicio 14 (1'44") Sinopsis:

Factoriza: $49x^6-70ax^3y^2+25a^2y^4\;$

Ejercicio 15 (1'10") Sinopsis:

Factoriza: $400a^10+40a^5+1\;$

Ejercicio 16 (1'12") Sinopsis:

Factoriza: $x^8+18x^4+81\;$

Ejercicio 17 (1'59") Sinopsis:

Factoriza: $\cfrac{y^2}{4}-yz+z^2\;$

Ejercicio 18 (1'32") Sinopsis:

Factoriza: $1+\cfrac{2}{3}p+\cfrac{p^2}{9}\;$

Ejercicio 19 (1'14") Sinopsis:

Factoriza: $x^4-x^2y^2+\cfrac{y^4}{4}\;$

Ejercicio 20 (1'59") Sinopsis:

Factoriza: $\cfrac{1}{25}+\cfrac{25}{36} b^4 - \cfrac{b^2}{3}\;$

Ejercicio 21 (1'32") Sinopsis:

Factoriza: $16m^6-2m^3n^2+\cfrac{n^4}{16}\;$

Ejercicio 22 (2'14") Sinopsis:

Factoriza: $9(a+x)^2-12(a+x)+4\;$

Ejercicio 23 (2'54") Sinopsis:

Factoriza: $4(1+m)^2-4(1+m)(n-1)+(n-1)^2\;$

Ejercicio 24 (2'55") Sinopsis:

Factoriza: $9(a-b)^2+12(a-b)(a+b)+4(a+b)^2\;$

Ejercicio 25 (3'01") Sinopsis:

Factoriza: $(m+n)^2-2(m+n)(m-n)+(m-n)^2\;$

Ejercicio 26 (2'04") Sinopsis:

Factoriza: $4a^2-4a(b-a)+(b-a)^2\;$

Ejercicio 27 (2'11") Sinopsis:

Factoriza: $(m+a)^2-2(m+a)(a+b)+(a+b)^2\;$

Ejercicio 28 (1'25") Sinopsis:

Factoriza: $x+2\sqrt{2xy}+2y\;$

Ejercicio 29 (1'11") Sinopsis:

Factoriza: $ax+4\sqrt{ax}+4\;$

Ejercicio 30 (1'34") Sinopsis:

Factoriza: $a^3-10a^{\frac{3}{2}}+25\;$

Ejercicio 31 (1'37") Sinopsis:

Factoriza: $x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}+9\;$

Ejercicio 32 (1'53") Sinopsis:

Factoriza: $16x^{\frac{1}{2}}-8x^{\frac{1}{4}}+1\;$

Ejercicio 33 (1'53") Sinopsis:

Factoriza: $m^{\frac{2}{3}}+4m^{\frac{1}{3}}+4\;$

Ejercicio 34 (1'27") Sinopsis:

Factoriza: $\sqrt[3]{m^2}-6\sqrt[3]{m}+9\;$

Ejercicio 35 (8'36") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2a) $x^2-4x+4\;$

2b) $x^2-6x+9\;$

2c) $x^2+6x+9\;$

2d) $x^2+4x+4\;$

Ejercicio 36 (8'23") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2e) $x^2-2x+1\;$

2f) $x^2-10x+25\;$

2g) $x^2+2x+1\;$

2h) $x^2+10x+25\;$

2i) $x^4-6x^2+9\;$

Ejercicio 37 (9'13") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2j) $x^4+10x^2+25\;$

2k) $x^4-20x^2+100\;$

2l) $x^6-14x^3+49\;$

Ejercicio 38 (4'33") Sinopsis:

Factoriza:

a) $4x^2+12xy^2+9y^4\;$

b) $25m^4-40m^2+16\;$

Ejercicio 39 (4'55") Sinopsis:

Factoriza: $25x^2-30x+9\;$

Ejercicio 40 (5'07") Sinopsis:

Factoriza: $25x^2+20x+4\;$

Ejercicio 41 (4'04") Sinopsis:

Factoriza: $16x^3+24x^2+9x\;$

Ejercicio 42 (3'51") Sinopsis:

Factoriza: $-4t^2-12t-9\;$

Ejercicio 43 (3'16") Sinopsis:

Averigua el valor de "c" y "d" de manera que $x^2+5x+c=(x+d)^2\;$ .

Ejercicio 44 (4'57") Sinopsis:

Averigua el valor de "c" y "d" de manera que $x^2+5x+c=(x+d)^2\;$ .

Factorización por suma de cubos (para ampliar)

Ejercicio 1 (2'03") Sinopsis:

Factoriza: $x^3+27\;$

Ejercicio 2 (2'34") Sinopsis:

Factoriza: $8x^3+y^3\;$

Ejercicio 3 (3'32") Sinopsis:

Factoriza: $27m^3+64n^9\;$

Factorización de polinomios usando productos notables

Diferencias de cuadrados:

Actividad Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados

Autoevaluación 1 Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados (Introducción)

Autoevaluación 2 Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados

Trinomios cuadrados perfectos:

Actividad Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos

Autoevaluación Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos

Productos notables:

Autoevaluación 1 Descripción:

Factoriza polinomios: formas de productos notables

Autoevaluación 2 Descripción:

Factoriza polinomios: formas de productos notables

Factorización de polinomios mediante productos notables

Actividad: Factorización de polinomios mediante productos notables

Factoriza:

a) $9x^2-100\!$

b) $25x^2-30x+9\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) factor 9x^2-100

b) factor 25x^2-30x+9

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_usando_identidades_notables"

-Mediante productos notables podemos transformar un polinomio en un producto de factores.
+{{Ejemplos: Factorización de polinomios usando productos notables}}
-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplos: ''Factorización de polinomios usando productos notables''
-|enunciado=
-Factoriza:
-:a) <math>4x^2-9 \;\!</math>
-:b) <math>x^2+4x+4 \;\!</math>
-|sol=
-'''Soluciones:'''
-'''a)''' Al tratarse de un binomio cuyos términos están restando, sólo podemos ponerlo como diferencia de cuadrados. Extrayendo las raíces cuadradas de cada término tenemos:
-<math>\left . \begin{matrix}\sqrt{4x^2}=2x \\ \sqrt{9}=3 \end{matrix}  \right \} \ \rightarrow \ 4x^2-9=(2x+3)(2x-3) \!</math>
-{{p}}
-----
-'''b)''' Al tratarse de un trinomio, buscaremos dos de sus términos que sean cuadrados perfectos y calcularemos su raíz cuadrada:
-<math>\left . \begin{matrix}\sqrt{x^2}=x \\ \sqrt{4}=2 \end{matrix}  \right \} \ \rightarrow \ x^2+4x+4 =(x+2)^2 \!</math>
-Para confirmar que esa es la factorización, comprobaremos que el doble producto del primero por el segundo es igual al otro término:
-:<math>2 \cdot x \cdot 2 =4x\;</math>
-En efecto, luego esa es la factorización.
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+{{Wólfram: Factorización de polinomios mediante productos notables}}
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-|titulo=Actividad: ''Factorización de polinomios mediante productos notables''
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-:Factoriza:
-:a) <math>9x^2-100\!</math>
-:b) <math>25x^2-30x+9\!</math>
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-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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-:b) {{consulta|texto=factor 25x^2-30x+9}}
-{{widget generico}}
-}}
-}}
-}}
 {{p}}

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