Función cuadrática (3ºESO Académicas)

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|sinopsis=Un objeto es lanzado desde una plataforma. La altura del objeto (en metros) "x" segundos después del lanzamiento, viene dada por la función <math>h(x)=-5(x-4)^2+180\;</math>. |sinopsis=Un objeto es lanzado desde una plataforma. La altura del objeto (en metros) "x" segundos después del lanzamiento, viene dada por la función <math>h(x)=-5(x-4)^2+180\;</math>.
-:a) ¿Cuál es la altura de la plataforma de lanzamiento?+a) ¿Cuál es la altura de la plataforma de lanzamiento?
-:b) ¿En cuánto tiempo alcanzará el objeto la altura máxima?+b) ¿En cuánto tiempo alcanzará el objeto la altura máxima?
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Tabla de contenidos

(Pág. 171)

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella cuya expresión analítica puede escribirse como una ecuación polinómica de segundo grado:

y=ax^2+bx+c \;

con a \ne 0.

Representación gráfica de la función cuadrática

Vamos a empezar con un ejemplo sencillo que nos permita una primera aproximación a la representación gráfica de este tipo de funciones:

ejercicio

Ejemplo: La función cuadrática tipo

Representa la función cuadrática más sencilla de todas, la llamada función cuadrática tipo, cuya ecuación es:

y=x^2\;
Solución:
Haremos una tabla de valores y, a partir de ella, dibujaremos su gráfica:

Los valores de esta tabla los representamos en unos ejes cartesianos a una escala adecuada. (Son los puntos rojos de la imagen de la derecha).

La gráfica obtenida recibe el nombre de parábola.

  • Fíjate como su gráfica es simétrica.
  • El eje de simetría (en verde) divide a la parábola en dos ramas simétricas.
  • El eje corta a la parábola en un punto llamado vértice (V en el dibujo).

La gráfica de cualquier otra función cuadrática tiene un aspecto muy parecido al de la "función cuadrática tipo" que acabamos de representar.

ejercicio

Propiedades

La representación gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola y tiene las siguientes propiedades:

  • La parábola es simétrica respecto de un eje paralelo al eje Y, que llamaremos eje de la parábola.
  • El eje de la parábola corta a la parábola por un punto llamado vértice. La abscisa del vértice es x=-\cfrac{b}{2a}.
  • El eje de la parábola la divide en dos partes denominadas ramas.
    • Si a>0\;, la parábola tiene las ramas hacia arriba.
    • Si a<0\;, la parábola tiene las ramas hacia abajo.
  • Cuanto mayor es |a|\;, más estilizada es la parábola.
  • Dos parábolas con el mismo coeficiente a\;, tienen formas idénticas aunque están situadas en posiciones distintas.
  • Puntos de corte con los ejes:
    • Eje Y: En el punto (0,c)\;
    • Eje X: En los puntos (x,0), donde x se obtiene resolviendo la ecuación ax^2+bx+c=0\;. Pueden ser 0,1 ó 2 puntos.

ejercicio

Ejemplo: Representación gráfica de la función cuadrática

Representa y = x^2-3x-4\;.

Solución:
  • Vértice:
x_v=-\cfrac{b}{2a}=\cfrac{3}{2} \ \rightarrow \ y_v=\left( \cfrac{3}{2} \right )^2-3 \cdot \cfrac{3}{2} -4 = -\cfrac{25}{4} \ \rightarrow \ V=\left( \cfrac{3}{2} \, ,-\cfrac{25}{4} \right )
  • Puntos de corte con los ejes:
Eje X: Resolvemos la ecuación: x^2-3x-4=0\;

x=\cfrac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2} \ \rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} x_1=-1 \ \rightarrow \ A(-1,0) \\ x_2=~4 \quad \rightarrow \ \ B(4,0) \end{matrix} \right.
Eje Y: C(0,-4)\;
  • Tabla de valores:
  • Gráfica:

video
La función cuadrática
Tutorial 1 (7'45")     Sinopsis:
  • Función cuadrática.
  • Representación gráfica de una función cuadrática: la parábola.
  • Puntos de corte con los ejes, vértice y ramas.
  • Ejemplos.
Tutorial 2 (11'50")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica como representar funciones del tipo f(x)=ax^2+bx+c utilizando un algoritmo general.

Tutorial 3 (3'13")     Sinopsis:

Las parábolas. Puntos de corte con los ejes y ramas.

Tutorial 4 (9'51")     Sinopsis:

Introducción a las parábolas. Elementos de una parábola.

Ejercicio 1 (20'24")     Sinopsis:

Representa las funciones cuadráticas y=x^2\; e y=-x^2\;.

Ejercicio 2 (15'45")     Sinopsis:

Representa gráficamente la función y=x^2+8x+15\;

Ejercicio 3 (8'46")     Sinopsis:

Representa gráficamente la función y=2x-x^2\;

Ejercicio 4 (7'02")     Sinopsis:

Representa gráficamente la función y=x^2-5x+6\;

Ejercicio 5 (7'00")     Sinopsis:

Representa gráficamente la función y=\cfrac{1}{2}(x-6)(x+2)\;

Ejercicio 6 (4'31")     Sinopsis:

Representa gráficamente la función y=2(x+2)^2-4\;

Ejercicio 7 (10'12")     Sinopsis:

Un objeto es lanzado desde una plataforma. La altura del objeto (en metros) "x" segundos después del lanzamiento, viene dada por la función h(x)=-5(x-4)^2+180\;.

a) ¿Cuál es la altura de la plataforma de lanzamiento? b) ¿En cuánto tiempo alcanzará el objeto la altura máxima?

video
La función cuadrática
Actividad 1     Descripción:

Escena en la que podrás ver como afecta a la gráfica de la función cuadrática modificar los coeficientes de la ecuación.

Actividad 2     Descripción:

Escena en la que podrás ver la representación gráfica de la función cuadrática y calcular su vértice y puntos de corte con los ejes.

Autoevaluación 1     Descripción:

Introducción a las parábolas

Autoevaluación 2a     Descripción:

Representar cuadráticas en forma factorizada.

Autoevaluación 2b     Descripción:

Representar cuadráticas en forma factorizada.

Autoevaluación 2c     Descripción:

Problemas verbales sobre cuadráticas (forma factorizada).

Autoevaluación 3a     Descripción:

Representar funciones cuadráticas dadas en forma canónica.

Autoevaluación 3b     Descripción:

Representar funciones cuadráticas dadas en forma canónica.

Autoevaluación 3c     Descripción:

Problemas verbales de cuadráticas (forma canónica)

wolfram
Función cuadrática
wolfram

Actividad: Función cuadrática

Dada la función y=x^2-3x-4\;:

a) Halla su vértice.
b) Halla los puntos de corte con los ejes.
c) Haz una tabla de valores para valores de x comprendidos entre -2 y 5.
d) Representala para valores de x comprendidos entre -5 y 5.


Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) extrema x^2-3x-4
b) intercept x^2-3x-4
c) Table[x^2-3x-4,{x,-2,5,1}]
d) plot x^2-3x-4, x=-5 to 5


Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Función cuadrática

(Pág. 171-172)

1, 2a, 3b

2b, 3a

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