El significado de las fracciones (1º ESO)

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Tabla de contenidos

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1 Introducción
2 Las fracciones
3 Fracciones propias e impropias
- 3.1 Números mixtos
4 La fracción como operador
5 Ejercicios y problemas

(Pág. 122)

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Introducción

Los números enteros surgen porque no bastaba con los números naturales para cubrir ciertas necesidades. Sin embargo, tampoco los enteros son suficientes. Hay muchas situaciones en las que necesitamos representar unidades incompletas. Por ejemplo, cuando vas al supermercado y compras un cuarto de kilo de gambas, es porque tienes suficiente con solo una parte y no necesitas la totalidad del kilo; o cuando te dicen que el 99% de una medusa es agua, te queda muy claro que le falta muy poco para ser toda agua, pero que no lo es en su totalidad.

Para estos casos se inventaron las fracciones. Curiosamente, desde un punto de vista histórico, las necesidad de las fracciones fue cubierta antes que la necesidad de los números negativos. Probablemente sea más natural hablar de partes incompletas de algo (fracciones) que de partes que "no están" (negativos). Fueron los egipcios, hace más de 3500 años, los primeros en usar fracciones. No utilizaban la barra que usamos nosotros para separar numerador de denominador, sino un símbolo parecido a un ojo, y sólo usaban el 1 como numerador (fracciones unitarias), pero sentaron las bases de lo que hacemos nosotros hoy en día.

Fig. 1: Fracciones egipcias

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Fracciones (7'06") Sinopsis:[Mostrar]

Las fracciones en nuestra vida cotidiana Descripción: [Mostrar]

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Las fracciones

Cuando necesitamos expresar cantidades que representan unidades incompletas o partes de la unidad, además de los números decimales, disponemos de las fracciones.

Una fracción es una expresión de la forma $\frac{a}{b}\;$ , o bien, $a/b\;$ , donde $a\;$ y $b\;$ son números enteros, siendo $b \ne 0 \;$ .

Al número $a\;$ lo llamaremos numerador y al número $b\;$ , denominador.

Observación: [Mostrar]

El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según su valor, una fracción pueden ser:

Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.

Observación: [Mostrar]

$Fig. 2: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1$

Fig. 2: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1

Fig. 3: Coger 2 partes de 5 equivale a coger 4 décimas de 1 unidad.

Ejemplo: [Mostrar]

Fracciones [Mostrar]

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Fracciones propias e impropias

¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?

Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

Ejemplos: [Mostrar]

Fracciones propias e impropias (12'11") Sinopsis: [Mostrar]

Fracciones propias e impropias Descripción: [Mostrar]

Fracciones propias e impropias [Mostrar]

Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.

Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.

Proposición

Toda fracción impropia, $\cfrac{D}{d}\;$ , se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

donde $c\;\!$ es el cociente y $r\;\!$ es el resto de la división de $D\;\!$ entre $d\;\!$ .

Demostración:[Mostrar]

$Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta$

Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta

$\cfrac{10}{8}= 1 +\cfrac{2} {8} > 1$

Ejemplos: [Mostrar]

Actividades Descripción: [Mostrar]

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Números mixtos

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.

$a \begin{matrix} \frac{b}{c} \end{matrix}=a+\cfrac{b}{c} \ \ ,\ (b<c)$

Aviso: [Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Números mixtos [Mostrar]

Calculadora: Fracciones mixtas

A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla

B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez

Ejemplo:[Mostrar]

Números mixtos [Mostrar]

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La fracción como operador

Supongamos que tenemos una cierta cantidad (que llamaremos "el total") y que queremos saber cuánto es una determinada fracción de dicha cantidad (que llamaremos "la parte"). En tal caso, diremos que la fracción actúa como operador de dicha cantidad y procederemos de la siguiente manera : Dividimos la cantidad total entre el denominador, para calcular cuantos grupos del tamaño del denominador podemos hacer, y multiplicamos por el numerador, que representa la cantidad de esos grupos que tomamos.

Fracción de una cantidad

Para calcular una fracción a/b de una cantidad C se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador. (También podemos multiplicar primero por el numerador y dividir después por denominador, o incluso calcular el valor de la fracción y multiplicarlo por C).

$\cfrac{a}{b} \ \mbox{de} \ C = \cfrac{C}{b} \cdot a = \cfrac{a \cdot C}{b}= \cfrac{a}{b} \cdot C$

Ejemplo 1: Cálculo de la parte conocido el total

Si de un depósito de agua, en el que caben 20 l, sólo están llenas las 2/5 partes, ¿cuánta agua hay en el depósito?

Solución:[Mostrar]

Actividades: La fracción como operador Descripción: [Mostrar]

Ejemplo 2: Cálculo del total conocida la parte

Un depósito de agua tiene 8 l, que son las 2/5 partes de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad total del depósito?

Solución:[Mostrar]

La fracción como operador [Mostrar]

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Ejercicios y problemas

Problemas 1: La fracción como operador Descripción: [Mostrar]

Problemas 2: La fracción como operador Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

Ejercicios propuestos: El significado de las fracciones

(Pág. 123)

4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13

1, 2, 3, 7, 8, 15

Ejercicios propuestos: Problemas con fracciones

(Pág. 128)

1, 2

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/El_significado_de_las_fracciones_%281%C2%BA_ESO%29"

Categoría: Ejercicios de Matemáticas

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 (Pág. 122)
+==Introducción==
+{{Introducción a las fracciones}}
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 ==Las fracciones==
-Cuando necesitamos expresar cantidades con partes de la unidad, además de los números decimales, disponemos de las fracciones.
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+==Fracciones propias e impropias==
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+{{Fracciones propias e impropias 1ºESO}}
-*Una '''fracción''' es un número que expresa una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales. Se representa <math>\frac{a}{b}\;</math>, o bien, <math>a/b\;</math>:
-:*A {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>b\;</math>}} se le llama '''denominador''' y representa las partes en que se divide la unidad.
-:*A {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>a\;</math>}} se le llama '''numerador''' y representa las porciones que tomamos.
-*El '''valor''' de la fracción es el número que resulta de dividir el numerador entre el denominador.
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+==La fracción como operador==
-En la Fig. 1 tienes algunos ejemlos de fracciones. Su valor se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador:
+{{La fracción como operador}}
-<math>\cfrac{1}{1}= 1 \, ; \qquad \cfrac{1}{2}= 0.5 \, ; \qquad \cfrac{1}{4}=0.25 \, ; \qquad \cfrac{3}{4}= 0.75</math>
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+==Ejercicios y problemas==
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-===Fracciones propias e impropias===
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-*Una '''fracción propia''' es aquella cuyo numerador es menor que el denominador.
-*Una '''fracción impropia''' es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador. Por tanto, es mayor que la unidad.
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+|descripcion=Ejercicios y problemas de autoevaluación sobre fracciones.
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-La fracción {{b}}<math>\cfrac{10}{8}</math>{{b}} es impropia. Es mayor que la unidad y podemos expresarla como número mixto:
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-<math>\cfrac{10}{8}= \cfrac{8}{8} + \cfrac{2}{8} = 1 +\cfrac{2}{8}</math>
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-}}
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-|titulo=Actividad: ''Números racionales''
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+(Pág. 123)
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+[[Imagen:red_star.png|12px]] 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13
-:b) Representa la fracción 22/6 en forma de diagrama de tarta.
+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1, 2, 3, 7, 8, 15
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-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:a) {{consulta|texto=pie chart 7/9}}
-:b) {{consulta|texto=pie chart 22/6}}
-{{widget generico}}
-}}
-}}
 }}
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-===La fracción como operador===
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para calcular la fracción de una cantidad, se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador.
-}}
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-Si de un depósito de agua, en el que caben 20 l, sólo están llenas las 2/5 partes, ¿cuánta agua hay en el depósito?
-----
-'''Solución:'''
-:<math>\cfrac{2}{5} \cdot 20 = \cfrac{20 \cdot 2}{5}= 8 \ l</math>
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-==Ejercicios propuestos==
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-|titulo=Ejercicios propuestos: ''El significado de las fracciones''
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+(Pág. 128)
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 [[Categoría: Ejercicios de Matemáticas|Números]]

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