Plantilla:Idea intuitiva de continuidad (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión actual

Tabla de contenidos

1 Idea intuitiva de continuidad
2 Discontinuidades

Idea intuitiva de continuidad

En este apartado pretendemos hacer una acercamiento al concepto de continuidad de una forma intuitiva, sin profundizar y sin usar el concepto de límite, el cual estudiaremos más adelante.

Una función entenderemos que es continua si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo. Si en algún punto "se rompe" diremos que presenta una discontinuidad en dicho punto.

La continuidad en términos geométricos (7'15") Sinopsis:

Introducción al concepto de continuidad de forma intuitiva. Ejemplo gráfico de discontinuidades.

Propiedad

Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales son continuas en todos los puntos de su dominio de definición.

Ejemplos:

a) $f(x)=x^2-3x+1 \;\!$ es continua en todos los puntos de su dominio: $D_f=\mathbb{R}$ .

b) $f(x)=\cfrac{x+2}{x+5} \;\!$ es continua en su dominio: $D_f=\mathbb{R}- \lbrace 5 \rbrace$ .

Criterios de continuidad (5'01") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Ejemplos: Criterios de continuidad

1. Ejemplos (13'02") Sinopsis:

40 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

2. Ejemplos (13'32") Sinopsis:

24 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

3. Ejemplos (10'33") Sinopsis:

17 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

4. Ejemplos (8'45") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

5. Ejemplos (15'09") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

[editar]

Discontinuidades

Basicamente, nos podemos encontrar los siguientes tipos de discontinuidades en un punto $x=a\;$ :

$Discontinuidad \begin{cases} \begin{matrix} No \ evitable \\ (o \ esencial) \end{matrix} \begin{cases} De \ primera \ especie \begin{cases} De \ salto \ finito \\ De \ salto \ infinito \\ Asint\acute{o}tica \end{cases} \\ De \ segunda \ especie \end{cases} \\ \ \ Evitable \end{cases}$

Tipos de discontinuidades Descripción:

En esta escena podrás ver ejemplos de los distintos tipos de discontinuidades.

[editar]

Discontinuidades evitables

Discontinuidad evitable: La función no está definida en el punto $x=a\;$ o bien el punto está desplazado.

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

[editar]

Discontinuidades no evitables de primera especie

Discontinuidad de salto finito: La función da un salto al llegar a $x=a\;$ . Se define el salto como el valor absoluto de la diferencia, $\left| d-c \right|\;$ (ver gráfica adjunta).

Discontinuidad de salto infinito: La curva tiene una "rama infinita" en un solo lado del punto $x=a\;$ .

Discontinuidad asintótica. La curva tiene "ramas infinitas" en el punto $x=a\;$ . Decimos que la curva presenta una asíntota vertical en el punto $x=a\;$ .

Salto finito (Salto= $\left| d-c \right|\;$ )

Salto infinito

Asintótica

[editar]

Discontinuidad no evitable de segunda especie

Discontinuidad de segunda especie: La función, al acercarse al punto x=a lo hace, por ejemplo, de forma "oscilante".

Segunda especie

Cuando veamos el concepto de límite formalizaremos estas definiciones que aquí hemos visto de forma intuitiva.

Ejercicio resuelto: Tipos de discontinuidades

Indica qué tipo de discontinuidad presentan las siguientes funciones y en qué punto:

a) $\ y=\cfrac{1}{x}$ b) $y=\cfrac{1}{(x-2)^2}$ c) $y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}$

d) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$ e) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 2 \\ 3 & \mbox{si }x=2 \end{cases}$

Solución:

a) En x=0 tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica.

b) En x=2 tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica.

c) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

d) En x=2 tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto.

e) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Idea_intuitiva_de_continuidad_%281%C2%BABach%29"

 }}
 {{p}}
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
 |titulo1=La continuidad en términos geométricos
 |duracion=7'15"
 {{p}}
 {{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedad
-|enunciado=Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales son continuas en todos los puntos de su dominio de definición.
+|enunciado=Las funciones definidas por expresiones analíticas [[Familias de funciones elementales (1ºBach)| elementales]] son continuas en todos los puntos de su dominio de definición.
 }}
 {{p}}
 }}
 {{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Criterios de continuidad
+|duracion=5'01"
+|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/17-continuidad-de-funciones/06-criterios-de-continuidad-3
+}}
+{{p}}
+{{ejemplo2
+|titulo=Ejemplos: ''Criterios de continuidad''
+|enunciado=
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=1. Ejemplos
+|duracion=13'02"
+|sinopsis=40 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/17-continuidad-de-funciones/0601-cuarenta-ejemplos-3
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=2. Ejemplos
+|duracion=13'32"
+|sinopsis=24 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/17-continuidad-de-funciones/0602-veinticuatro-ejemplos-3
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=3. Ejemplos
+|duracion=10'33"
+|sinopsis=17 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/17-continuidad-de-funciones/0603-diecisiete-ejemplos-3
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=4. Ejemplos
+|duracion=8'45"
+|sinopsis=4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/17-continuidad-de-funciones/0604-cuatro-ejemplos-3
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=5. Ejemplos
+|duracion=15'09"
+|sinopsis=4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/17-continuidad-de-funciones/0605-cuatro-ejemplos-3
+}}
+}}
 ==Discontinuidades==
 </math>
 </center>
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver ejemplos de los distintos tipos de discontinuidades.
+|enlace=[https://ggbm.at/Wre2F8Hb Tipos de discontinuidades]
+}}
+{{p}}
+===Discontinuidades evitables===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+*'''Discontinuidad evitable:''' La función no está definida en el punto <math>x=a\;</math> o bien el punto está desplazado.
+}}
+{{p}}
+{{Tabla50|celda1=[[Imagen:discont_evitable_2.png |300 px|center]]{{p}}<center>Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)</center>
+|celda2=[[Imagen:discont_evitable_1.png |300 px|center]]<center>Evitable (punto desplazado que deja un hueco)</center>
+}}
+{{p}}
+===Discontinuidades no evitables de primera especie===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+*'''Discontinuidad de salto finito:''' La función da un salto al llegar a <math>x=a\;</math>. Se define el salto como el valor absoluto de la diferencia, <math>\left| d-c \right|\;</math> (ver gráfica adjunta).
-{{p}}
+*'''Discontinuidad de salto infinito:''' La curva tiene una "rama infinita" en un solo lado del punto <math>x=a\;</math>.
-{{tabla50|celda1={{p}}
-*'''Discontinuidad de salto infinito'''. En este caso la curva tiene alguna "rama infinita" en el punto <math>x=a\;</math>. Decimos que la curva presenta una '''asíntota vertical''' en el punto <math>x=a\;</math>.
+*'''Discontinuidad asintótica'''. La curva tiene "ramas infinitas" en el punto <math>x=a\;</math>. Decimos que la curva presenta una '''asíntota vertical''' en el punto <math>x=a\;</math>.
-|celda2=<center>
-[[Imagen:discont_1.png  |300 px]]</center>
 }}
 {{p}}
-{{tabla50|celda1={{p}}
+{{Tabla3|celda1=[[Imagen:discont_salto_finito.png |300 px|center]]{{p}}<center>Salto finito (Salto=<math>\left| d-c \right|\;</math>)</center>
-*'''Discontinuidad de salto finito:''' La función da un salto al llegar a <math>x=a\;</math>. En la gráfica adjunta el valor del salto es la diferencia <math>y_1-y_2\;</math>.
+|celda2=[[Imagen:discont_salto_infinito.png |300 px|center]]<center>Salto infinito</center>
-|celda2=<center>[[Imagen:discont_2.png |300 px]]</center>
+|celda3=[[Imagen:discont_asintotica.png |300 px|center]]<center>Asintótica</center>
 }}
 {{p}}
-{{tabla50|celda1={{p}}
-*'''Discontinuidad evitable (ausencia de punto):''' La función no está definida en el punto <math>x=a\;</math> o bien el punto está desplazado.
+===Discontinuidad no evitable de segunda especie===
-|celda2=
+{{Caja_Amarilla|texto=
-<center>[[Imagen:discont_4.png  |300 px]]</center>
+'''Discontinuidad de segunda especie:''' La función, al acercarse al punto x=a lo hace, por ejemplo, de forma "oscilante".
 }}
 {{p}}
-{{tabla50|celda1={{p}}
+[[Imagen:discont_segunda_especie.png |300 px|center]]<center>Segunda especie</center>
-*'''Discontinuidad evitable (punto desplazado):''' La función no está definida en el punto <math>x=a\;</math> o bien el punto está desplazado.
+{{p}}
-|celda2=
+Cuando veamos el concepto de límite formalizaremos estas definiciones que aquí hemos visto de forma intuitiva.
-<center>[[Imagen:discont_3.png |300 px]]</center>
+{{p}}
+{{Ejemplo|titulo=Ejercicio resuelto: ''Tipos de discontinuidades''|enunciado=
+Indica qué tipo de discontinuidad presentan las siguientes funciones y en qué punto:
+:a) <math> \ y=\cfrac{1}{x}</math>{{b4}}{{b4}} b) <math>y=\cfrac{1}{(x-2)^2}</math> {{b4}}{{b4}} c) <math>y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}</math>
+{{p}}
+:d) <math>y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\  1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}</math> {{b4}}{{b4}} e) <math>y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 2 \\  3 & \mbox{si }x=2 \end{cases}</math>
+|sol=
+:a) En x=0 tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica.
+:b) En x=2 tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica.
+:c) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.
+:d) En x=2 tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto.
+:e) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.
+Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
+|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]
+}}
 }}
 {{p}}
-*Hay otro tipo de discontinuidad, denominada '''discontinuidad esencial''', de la que ya hablaremos cuando veamos el concepto de límite. Entonces formalizaremos el concepto de discontinuidad que aquí hemos visto de forma tan superficial.

Plantilla:Idea intuitiva de continuidad (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Idea intuitiva de continuidad

Discontinuidades

Discontinuidades evitables

Discontinuidades no evitables de primera especie

Discontinuidad no evitable de segunda especie

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas