Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

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-== Valor absoluto de un número real ==+{{Caja_Amarilla|texto=El '''valor absoluto''' o '''módulo''' de un número real <math>a\;</math> es el propio número <math>a\;</math>, si es positivo o nulo. Y su opuesto, <math>-a\;</math>, si es negativo. Es decir:
-(pág. 30)+
- +
-{{Caja_Amarilla|texto=El '''valor absoluto''' o '''módulo''' de un número real <math>a\;</math> es el propio número <math>a\;</math>, si es positivo, o su opuesto, <math>-a\;</math>, si es negativo. Es decir:+
<center><math>|a| = \begin{cases} <center><math>|a| = \begin{cases}
- \;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\+ \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\
- -a, & \mbox{si } a < 0+ -a\, , & \mbox{si } a < 0
\end{cases} </math></center> \end{cases} </math></center>
}} }}
-Nótese que el valor absoluto de un número siempre será positivo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real <math>a\;</math> corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde <math>a\;</math> hasta el cero. 
{{p}} {{p}}
-{{Reglas desigualdades}}+Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real <math>a\;</math> corresponde a la [[Números reales (1ºBach)#Distancia |distancia]] a lo largo de la recta real desde <math>a\;</math> hasta el cero.
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- +|contenido={{Ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Valor absoluto''
-(pág. 30)+
-{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Valor absoluto''+
|enunciado= |enunciado=
-::'''1)''' Calcula el valor absoluto de los siguientes números: <math>7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}</math>+'''1)''' Calcula el valor absoluto de los siguientes números: <math>7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}</math>
-::'''2)''' ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?+'''2)''' ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?
-:::a) <math>|x|=3\;</math>+:a) <math>|x|=3\;</math>
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-{{ejercicio_cuerpo+|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/reales/quincena1_contenidos_3b.htm
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-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
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 +{{Videotutoriales|titulo=Valor absoluto de un número real. Propiedades|enunciado=
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 +|titulo1=Tutorial 1
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 +|sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabaja el concepto matemático de valor absoluto de un número real y expresiones sencillas.
-==Videotutoriales==+*00:00 a 03:25: Definición matemática de valor absoluto y ejemplos iniciales.
-{{Video_enlace2+*03:25 a 11:10: Cálculo del valor absoluto de expresiones numéricas sencillas.
-|titulo1=Valor absoluto de un número real+*11:10 a 13:53: Propiedades del Valor Absoluto.
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Línea 88: Línea 87:
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|sinopsis= |sinopsis=
-*Definición de distancia entre dos puntos de la recta real: <math>d(x,y)=|x-y|~,~ \forall x, y \in \mathbb{R}</math>+*Definición del valor absoluto de un número.
*Ejemplos. *Ejemplos.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/09-distancia-entre-dos-puntos-4#.VCVb-BZ8HA8+*Propiedades del valor absoluto.
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 +----
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 3 (demostración)
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-==Ejercicios==+:<math>\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k</math>
-(pág. 30)+
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-|titulo=Ejercicios propuestos: ''Valor absoluto''+}}
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 +:<math>|x \cdot y|= |x| \cdot |y|</math>
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 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
 +:<math>\forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n</math>
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 +|titulo1=Propiedad nº 9 (demostración 2)
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 + 
 +: <math>|x + y| \le |x|+|y|</math>
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 +|titulo1=Propiedad nº 9 (demostración 3)
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 + 
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 +|titulo1=Propiedad nº 12 (demostración)
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 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
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 +|sinopsis=Demostración de la propiedad: "La media geométrica es menor que la aritmética"
 + 
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 + 
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 +|sinopsis=Demostración de la propiedad: "Desigualdad triangular generalizada"
 + 
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 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XDJm2KXY9po&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=23
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-{{b4}}{{b4}}'''d)''' <math>|0| \; </math>{{b4}}'''e)''' <math>|3-\pi| \;</math>{{b4}}'''f)''' <math>|3-\sqrt{2}| \;</math> +:b) <math>|3x-1|=4 \;</math>
-{{b4}}{{b4}}'''g)''' <math>|1-\sqrt{2}| \; </math>{{b4}}'''h)''' <math>|\sqrt{2}-\sqrt{3}| \;</math>{{b4}}'''i)''' <math>|7-\sqrt{50}| \;</math>+:c) <math>|x-5|>2 \;</math>
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]]'''2.''' Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones: 
-{{b4}}{{b4}}'''a)''' <math>|x|=5 \; </math>{{b4}}'''b)''' <math>|x| \le 5 \;</math>{{b4}}'''c)''' <math>|x-4|=2 \;</math>+{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 + 
 +a) <math>|3x-1|=0</math>
 + 
 +b) <math>|3x-1|=4</math>
 + 
 +c) <math>|x-5|>2</math>
-{{b4}}{{b4}}'''d)''' <math>|x-4| \le 2 \; </math>{{b4}}'''e)''' <math>|x-4| > 2 \;</math>{{b4}}'''f)''' <math>|x+4|>5 \;</math> 
-|sol=Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones: 
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 +
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 +¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?
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 +
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 +
 +:<math>\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right ) </math>
 +
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 +
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 +|url1=http://www.vitutor.com/di/re/r6e.html
}} }}

Revisión actual

El valor absoluto o módulo de un número real a\; es el propio número a\;, si es positivo o nulo. Y su opuesto, -a\;, si es negativo. Es decir:

|a| = \begin{cases}   \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\        -a\, , & \mbox{si } a < 0  \end{cases}

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\; corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde a\; hasta el cero.

Tabla de contenidos

Propiedades del valor absoluto

ejercicio

Propiedades del valor absoluto


1.  |x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0
2.   \forall k>0 \, , \,  \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k
3.   \forall k>0 \, , \,  \ |x|<k \iff -k < x < k
4.   \forall k>0 \, , \,  \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k
5.   |x \cdot y|= |x| \cdot |y|
6.   \forall n \in \mathbb{N} \, , \,  \ |x^n|= |x|^n
7.   \left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}
8.   |x^2| = x^2\;
9.   |x + y| \le |x|+|y| (desigualdad triangular)
10.   |x - y| \le |x|+|y|
11.   |x| - |y| \le |x-y|
12.   \left| |x| - |y| \right| \le |x-y|

ejercicio

Reglas para trabajar con desigualdades


Sean x, y, z \in \mathbb{R}, se cumplen las siguientes propiedades:

1.  x<y \Rightarrow x+z<y+z
2.  x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z
3.  x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z
4.  x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}

Como consecuencia, en una inecuación:

  • Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
  • Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

Ecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento


Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

\forall k>0 \, , \,  \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k

(pág. 33)

Inecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento


Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

  •   \forall k>0 \, , \,  \ |x|<k \iff -k < x < k
  •   \forall k>0 \, , \,  \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k

ejercicio

Ejercicios resueltos: Valor absoluto


¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) |x| \ge 3\;
b) |x-2|\le 3\;

Actividades

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda