Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

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Revisión actual

El valor absoluto o módulo de un número real $a\;$ es el propio número $a\;$ , si es positivo o nulo. Y su opuesto, $-a\;$ , si es negativo. Es decir:

$|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}$

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\;$ corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde $a\;$ hasta el cero.

Ejemplos:

Ejemplos: Valor absoluto

1) Calcula el valor absoluto de los siguientes números: $7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}$

2) ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?

a) $|x|=3\;$

b) $|x|=0\;$

c) $|x|=\sqrt{3}\;$

Solución:

$|7.4|=7.4\;$

$|0|=0\;$

$|-5.87|=5.87\;$

$|\sqrt{9}|=|\pm 3|= 3\;$

$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\;$

a) $|x|=3 \iff x=3 \quad \acute{o} \quad x=-3$

b) $|x|=0 \iff x=0$

c) $|x|= \sqrt{3} \iff x= \sqrt{3} \quad \acute{o} \quad x=-\sqrt{3}$

Actividades: Valor absoluto Descripción:

Valor absoluto de un número real. Ejemplos y actividades.

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Propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto

1. $|x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0$

2. $\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k$

3. $\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

4. $\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k$

5. $|x \cdot y|= |x| \cdot |y|$

6. $\forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n$

7. $\left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}$

8. $|x^2| = x^2\;$

9. $|x + y| \le |x|+|y|$ (desigualdad triangular)

10. $|x - y| \le |x|+|y|$

11. $|x| - |y| \le |x-y|$

12. $\left| |x| - |y| \right| \le |x-y|$

Valor absoluto de un número real. Propiedades

Tutorial 1 (13´53") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el concepto matemático de valor absoluto de un número real y expresiones sencillas.

00:00 a 03:25: Definición matemática de valor absoluto y ejemplos iniciales.
03:25 a 11:10: Cálculo del valor absoluto de expresiones numéricas sencillas.
11:10 a 13:53: Propiedades del Valor Absoluto.

Tutorial 2 (2´47") Sinopsis:

Definición del valor absoluto de un número.
Ejemplos.
Propiedades del valor absoluto.

Tutorial 3 (8´36") Sinopsis:

Definición del valor absoluto de un número.
Ejemplos.
Propiedades del valor absoluto.

Propiedad nº 3 (demostración) (8´33") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

Propiedad nº 5 (demostración) (7´38") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x \cdot y|= |x| \cdot |y|$

Propiedad nº 6 (demostración) (2´53") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$\forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n$

Propiedad nº 7 (demostración) (2´11") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$\left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}$

Propiedad nº 8 (demostración) (3´15") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

No se pudo entender (error de léxico): |x^2\=x^2\;

Propiedad nº 9 (demostración) (12´36") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x + y| \le |x|+|y|$

Propiedad nº 9 (demostración 2) (4´33") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x + y| \le |x|+|y|$

Propiedad nº 9 (demostración 3) (3´22") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x + y| \le |x|+|y|$

Propiedad nº 10 (demostración) (1´43") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x - y| \le |x|+|y|\;$

Propiedad nº 11 (demostración) (1´43") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$|x|- |y| \le |x-y|\;$

Propiedad nº 12 (demostración) (4´56") Sinopsis:

Demostración de la propiedad:

$\left| |x| - |y| \right| \le |x-y|$

Propiedad: La media geométrica es menor que la aritmética (demostración) (7´24") Sinopsis:

Demostración de la propiedad: "La media geométrica es menor que la aritmética"

$0<a<b \rightarrow a< \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2} < b$

Propiedad: Desigualdad triangular generalizada (demostración) (2´35") Sinopsis:

Demostración de la propiedad: "Desigualdad triangular generalizada"

$|x_1+x_2+ \cdots + x_n| \le |x_1|+|x_2|+ \cdots + |x_n|$

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean $x, y, z \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1. $x<y \Rightarrow x+z<y+z$

2. $x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z$

3. $x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z$

4. $x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}$

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00") Sinopsis:

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad?. Ejemplos.

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Ecuaciones con valor absoluto

Procedimiento

Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k$

Ecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 1 (11'54") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|5x-2| = 3\;$

b) $|7x-4|+2 = 0\;$

c) $|6-3x| = |2x+1|\;$

Ejercicio 2 (17'18") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|2x-4|-6 = 0\;$

b) $|3x-2|+5x-6 = 0\;$

c) $7-2x+|3x-3| = 0\;$

Ejercicio 3 (3'13") Sinopsis:

Resuelve:

$|3x+2|+|3-x| = 7\;$

Ejercicio 4 (12'45") Sinopsis:

Resuelve:

$|3x-3|-|2x-6| = 1\;$

Valor absoluto

Actividad: Valor absoluto

Resuelve

a) $|3x-1|=0 \;$

b) $|3x-1|=4 \;$

c) $|x-5|>2 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) $| 3 x - 1 | = 0$

b) $| 3 x - 1 | = 4$

c) $| x - 5 | > 2$

(pág. 33)

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Inecuaciones con valor absoluto

Procedimiento

Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

$\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$

$\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k$

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) $|x| \ge 3\;$

b) $|x-2|\le 3\;$

Solución:

a) $|x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff$

$\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right )$

b) $|x-2|\le 3 \iff -3 \le x-2 \le 3 \iff -3+2 \le x-2+2 \le 3+2 \iff$

$\iff -1 \le x \le 5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]$

Inecuaciones con valor absoluto

Tutorial 1a (10'39") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.

Tutorial 1b (12'54") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'36") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|x| \le 2\;$

b) $|x-1| > 3\;$

Ejercicio 2 (4'43") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-2| < 5\;$

Ejercicio 3 (5'02") Sinopsis:

Resuelve: $\left| \cfrac{x-10}{7} \right| \le 5\;$

Ejercicio 4 (5'45") Sinopsis:

Resuelve: $| 8x+1| >3\;$

Ejercicio 5 (4') Sinopsis:

Resuelve: $| x+6| \ge 1;$

Ejercicio 6 (5'21") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-2| < 5\;$

Ejercicio 7 (9'44") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|3x-2| < 4\;$

b) $|-2x+1| < 5\;$

Ejercicio 8 (4'35") Sinopsis:

Resuelve: $|5x-3| \le 12\;$

Ejercicio 9 (5'18") Sinopsis:

Resuelve: $|8-2x| > 2\;$

Ejercicio 10 (7'50") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-4| \ge |x+4|\;$

Ejercicio 11 (5'56") Sinopsis:

Resuelve: $\left| \cfrac{x+1}{x-2} \right| < 1\;$

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Actividades

Autoevaluación: Valor absoluto Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre valor absoluto de un número real.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Valor_absoluto_%281%C2%BA_Bach%29"

Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Propiedades del valor absoluto

Ecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto

Actividades

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Herramientas

-== Valor absoluto de un número real ==
+{{Caja_Amarilla|texto=El '''valor absoluto''' o '''módulo''' de un número real <math>a\;</math> es el propio número <math>a\;</math>, si es positivo o nulo. Y su opuesto, <math>-a\;</math>, si es negativo. Es decir:
-(pág. 32)
-{{Caja_Amarilla|texto=El '''valor absoluto''' o '''módulo''' de un número real <math>a\;</math> es el propio número <math>a\;</math>, si es positivo, o su opuesto, <math>-a\;</math>, si es negativo. Es decir:
 <center><math>|a| = \begin{cases}
-  \;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\
+  \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\
-       -a, & \mbox{si } a < 0
+       -a\, , & \mbox{si } a < 0
  \end{cases} </math></center>
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 {{p}}
-Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real <math>a\;</math> corresponde a la [[Valor absoluto (1ºBach)#Distancia |distancia]] a lo largo de la recta real desde <math>a\;</math> hasta el cero.
+Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real <math>a\;</math> corresponde a la [[Números reales (1ºBach)#Distancia |distancia]] a lo largo de la recta real desde <math>a\;</math> hasta el cero.
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+'''1)''' Calcula el valor absoluto de los siguientes números: <math>7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}</math>
+'''2)''' ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?
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-:b) <math>|x-2|\le 3 \iff -3<x-2<3 \iff -3+2<x-2+2<3+2 \iff -1<x<5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]</math>
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+: <math>|x - y| \le |x|+|y|\;</math>
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-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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-:c) <math>|x-5|>2</math>
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+|titulo1=Propiedad nº 11 (demostración)
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+|titulo1=Propiedad nº 12 (demostración)
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+|titulo1=Propiedad: ''La media geométrica es menor que la aritmética'' (demostración)
+|duracion=7´24"
+|sinopsis=Demostración de la propiedad: "La media geométrica es menor que la aritmética"
+: <math>0<a<b  \rightarrow a< \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2} < b</math>
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+{{Video_enlace_matefacil
+|titulo1=Propiedad: ''Desigualdad triangular generalizada'' (demostración)
+|duracion=2´35"
+|sinopsis=Demostración de la propiedad: "Desigualdad triangular generalizada"
+: <math>|x_1+x_2+ \cdots + x_n| \le |x_1|+|x_2|+ \cdots + |x_n|</math>
-===Ejercicios===
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XDJm2KXY9po&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=23
+}}
+}}
 {{p}}
-{{ejercicio
+{{Reglas desigualdades}}
-|titulo=Ejercicios: ''Valor absoluto''
+{{p}}
+===Ecuaciones con valor absoluto===
+{{Ecuaciones con valor absoluto}}
+{{wolfram desplegable|titulo=Valor absoluto|contenido=
+{{wolfram
+|titulo=Actividad: ''Valor absoluto''
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 {{ejercicio_cuerpo
 |enunciado=
-{{b4}} Halla los siguientes valores absolutos:
-{{b4}}{{b4}}'''a)''' <math>|-11| \; </math>{{b4}}'''b)''' <math>|\pi| \;</math>{{b4}}'''c)''' <math>|-\sqrt{5}| \;</math>
+Resuelve
+:a) <math>|3x-1|=0 \;</math>
-{{b4}}{{b4}}'''d)''' <math>|0| \; </math>{{b4}}'''e)''' <math>|3-\pi| \;</math>{{b4}}'''f)''' <math>|3-\sqrt{2}| \;</math>
+:b) <math>|3x-1|=4 \;</math>
-{{b4}}{{b4}}'''g)''' <math>|1-\sqrt{2}| \; </math>{{b4}}'''h)''' <math>|\sqrt{2}-\sqrt{3}| \;</math>{{b4}}'''i)''' <math>|7-\sqrt{50}| \;</math>
+:c) <math>|x-5|>2 \;</math>
+{{p}}
+|sol=
+Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
+a) <math>|3x-1|=0</math>
+b) <math>|3x-1|=4</math>
+c) <math>|x-5|>2</math>
-|sol=Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones:
 {{widget generico}}
 }}
 }}
+}}
+{{p}}
 (pág. 33)
+{{p}}
+===Inecuaciones con valor absoluto===
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:
-{{ejercicio
+*{{b}} <math>\forall k>0 \, , \,  \ |x|<k \iff -k < x < k</math>
-|titulo=Ejercicios propuestos: ''Valor absoluto''
-|cuerpo=
+*{{b}} <math>\forall k>0 \, , \,  \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k</math>
-{{ejercicio_cuerpo
+}}
+{{p}}
+{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Valor absoluto''
 |enunciado=
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]]'''2.''' Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
+¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?
+:a) <math>|x| \ge 3\;</math>
-{{b4}}{{b4}}'''a)''' <math>|x|=5 \; </math>{{b4}}'''b)''' <math>|x| \le 5 \;</math>{{b4}}'''c)''' <math>|x-4|=2 \;</math>
+:b) <math>|x-2|\le 3\;</math>
-{{b4}}{{b4}}'''d)''' <math>|x-4| \le 2 \; </math>{{b4}}'''e)''' <math>|x-4| > 2 \;</math>{{b4}}'''f)''' <math>|x+4|>5 \;</math>
+|sol=
+a) <math>|x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff</math>
-|sol=Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones:
+:<math>\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right ) </math>
-{{widget generico}}
+b) <math>|x-2|\le 3 \iff -3 \le x-2 \le 3 \iff -3+2 \le x-2+2 \le 3+2 \iff</math>
+:<math> \iff -1 \le x \le 5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]</math>
 }}
+{{p}}
+{{Inecuaciones con valores absolutos}}
+===Actividades===
+{{AI_vitutor
+|titulo1=Autoevaluación: ''Valor absoluto''
+|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre valor absoluto de un número real.
+|url1=http://www.vitutor.com/di/re/r6e.html
 }}