Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 09:30 21 sep 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Propiedades del valor absoluto)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)

Línea 35: Línea 35:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace2+{{AI_cidead
-|titulo1=Valor absoluto de un número real+|titulo1=Actividades: ''Valor absoluto''
 +|descripcion=Valor absoluto de un número real. Ejemplos y actividades.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/reales/quincena1_contenidos_3b.htm
 +}}
 +{{p}}
 +===Propiedades del valor absoluto===
 +{{Teorema_sin_demo|titulo= Propiedades del valor absoluto|enunciado=
 +:'''1.'''{{b}} <math>|x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0</math>
 + 
 +:'''2. '''{{b}} <math>\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k</math>
 + 
 +:'''3. '''{{b}} <math>\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k</math>
 + 
 +:'''4. '''{{b}} <math>\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k</math>
 + 
 +:'''5. '''{{b}} <math>|x \cdot y|= |x| \cdot |y|</math>
 + 
 +:'''6. '''{{b}} <math>\forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n</math>
 + 
 +:'''7. '''{{b}} <math>\left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}</math>
 + 
 +:'''8. '''{{b}} <math>|x^2| = x^2\;</math>
 + 
 +:'''9. '''{{b}} <math>|x + y| \le |x|+|y|</math> (desigualdad triangular)
 + 
 +:'''10. '''{{b}} <math>|x - y| \le |x|+|y|</math>
 + 
 +:'''11. '''{{b}} <math>|x| - |y| \le |x-y|</math>
 + 
 +:'''12. '''{{b}} <math>\left| |x| - |y| \right| \le |x-y|</math>
 +}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Valor absoluto de un número real. Propiedades|enunciado=
 +{{Video_enlace_clasematicas
 +|titulo1=Tutorial 1
 +|duracion=13´53"
 +|sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabaja el concepto matemático de valor absoluto de un número real y expresiones sencillas.
 + 
 +*00:00 a 03:25: Definición matemática de valor absoluto y ejemplos iniciales.
 +*03:25 a 11:10: Cálculo del valor absoluto de expresiones numéricas sencillas.
 +*11:10 a 13:53: Propiedades del Valor Absoluto.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zI7WbIu9p2w&index=5&list=PLZNmE9BEzVIldr5sFGtnV3nRU974wLtCK
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 2
|duracion=2´47" |duracion=2´47"
|sinopsis= |sinopsis=
Línea 44: Línea 87:
|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/08-valor-absoluto-de-un-numero-real-4#.VCVb2hZ8HA8 |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/08-valor-absoluto-de-un-numero-real-4#.VCVb2hZ8HA8
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matefacil
-===Propiedades del valor absoluto===+|titulo1=Tutorial 3
-{{Teorema_sin_demo|titulo= Propiedades del valor absoluto|enunciado=+|duracion=8´36"
-:'''1.'''{{b}} <math>|x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0</math>+|sinopsis=
 +*Definición del valor absoluto de un número.
 +*Ejemplos.
 +*Propiedades del valor absoluto.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4KY4yOOAPSg
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 3 (demostración)
 +|duracion=8´33"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
-:'''2. '''{{b}} <math>\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k</math>+:<math>\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k</math>
-:'''3. '''{{b}} <math>|x \cdot y|= |x| \cdot |y|</math>+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qVKeVZV425k
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 5 (demostración)
 +|duracion=7´38"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
-:'''4. '''{{b}} <math>|x + y| \le |x|+|y|</math>+:<math>|x \cdot y|= |x| \cdot |y|</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=greulfXIvbw
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matefacil
-{{Reglas desigualdades}}+|titulo1=Propiedad nº 6 (demostración)
-{{p}}+|duracion=2´53"
-(pág. 33)+|sinopsis=Demostración de la propiedad:
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Valor absoluto''+
-|enunciado=+
-'''2)''' ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?+:<math>\forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n</math>
-:a) <math>|x| \ge 3\;</math>+
-:b) <math>|x-2|\le 3\;</math> 
-|sol=+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rnlQRQSzK9E
-a) <math>|x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff</math>+}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 7 (demostración)
 +|duracion=2´11"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
-:<math>\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right ) </math>+:<math>\left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}</math>
-b) <math>|x-2|\le 3 \iff -3<x-2<3 \iff -3+2<x-2+2<3+2 \iff</math>+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4ElOW7rw5SE
-:<math> \iff -1<x<5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]</math>+}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 8 (demostración)
 +|duracion=3´15"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
 +: <math>|x^2\=x^2\;</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qvKAtO-HEic&index=8&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 9 (demostración)
 +|duracion=12´36"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
 +: <math>|x + y| \le |x|+|y|</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KconocgQmnc&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=15
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 9 (demostración 2)
 +|duracion=4´33"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
 +: <math>|x + y| \le |x|+|y|</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ruVkE5zarTk&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=16
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 9 (demostración 3)
 +|duracion=3´22"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
 +: <math>|x + y| \le |x|+|y|</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=yMfpEyU2i4U&index=17&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 10 (demostración)
 +|duracion=1´43"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
 +: <math>|x - y| \le |x|+|y|\;</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=VtzMI43LrFo&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=19
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 11 (demostración)
 +|duracion=1´43"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
 +: <math>|x|- |y| \le |x-y|\;</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=YBzsb9S00nY&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=20}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad nº 12 (demostración)
 +|duracion=4´56"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad:
 + 
 +: <math>\left| |x| - |y| \right| \le |x-y|</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=UGcBRiIr5mM&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=21
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad: ''La media geométrica es menor que la aritmética'' (demostración)
 +|duracion=7´24"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad: "La media geométrica es menor que la aritmética"
 + 
 +: <math>0<a<b \rightarrow a< \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2} < b</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qCEfJTvN8qM&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=18
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Propiedad: ''Desigualdad triangular generalizada'' (demostración)
 +|duracion=2´35"
 +|sinopsis=Demostración de la propiedad: "Desigualdad triangular generalizada"
 + 
 +: <math>|x_1+x_2+ \cdots + x_n| \le |x_1|+|x_2|+ \cdots + |x_n|</math>
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XDJm2KXY9po&list=PL9SnRnlzoyX2TEPnbgyH8Oeuuj2KrtUds&index=23
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{Reglas desigualdades}}
 +{{p}}
 +
 +===Ecuaciones con valor absoluto===
 +{{Ecuaciones con valor absoluto}}
{{wolfram desplegable|titulo=Valor absoluto|contenido= {{wolfram desplegable|titulo=Valor absoluto|contenido=
{{wolfram {{wolfram
Línea 107: Línea 251:
}} }}
}} }}
 +{{p}}
 +(pág. 33)
 +{{p}}
 +===Inecuaciones con valor absoluto===
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:
 +*{{b}} <math>\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k</math>
 +
 +*{{b}} <math>\forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k</math>
 +
 +
 +}}
{{p}} {{p}}
 +{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Valor absoluto''
 +|enunciado=
 +
 +¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?
 +:a) <math>|x| \ge 3\;</math>
 +
 +:b) <math>|x-2|\le 3\;</math>
 +
 +|sol=
 +a) <math>|x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff</math>
 +
 +:<math>\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right ) </math>
 +
 +b) <math>|x-2|\le 3 \iff -3 \le x-2 \le 3 \iff -3+2 \le x-2+2 \le 3+2 \iff</math>
 +:<math> \iff -1 \le x \le 5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Inecuaciones con valores absolutos}}
 +
 +===Actividades===
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación: ''Valor absoluto''
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre valor absoluto de un número real.
 +|url1=http://www.vitutor.com/di/re/r6e.html
 +}}

Revisión actual

El valor absoluto o módulo de un número real a\; es el propio número a\;, si es positivo o nulo. Y su opuesto, -a\;, si es negativo. Es decir:

|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\; corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde a\; hasta el cero.

Tabla de contenidos

[esconder]
[editar]

Propiedades del valor absoluto

ejercicio

Propiedades del valor absoluto

1.  |x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0
2.   \forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k
3.   \forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k
4.   \forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k
5.   |x \cdot y|= |x| \cdot |y|
6.   \forall n \in \mathbb{N} \, , \, \ |x^n|= |x|^n
7.   \left| \cfrac{x}{y} \right|= \cfrac{|x|}{|y|}
8.   |x^2| = x^2\;
9.   |x + y| \le |x|+|y| (desigualdad triangular)
10.   |x - y| \le |x|+|y|
11.   |x| - |y| \le |x-y|
12.   \left| |x| - |y| \right| \le |x-y|

ejercicio

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean x, y, z \in \mathbb{R}, se cumplen las siguientes propiedades:

1.  x<y \Rightarrow x+z<y+z
2.  x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z
3.  x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z
4.  x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}

Como consecuencia, en una inecuación:

  • Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
  • Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

[editar]

Ecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento

Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k

(pág. 33)

[editar]

Inecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento

Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

  •   \forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k
  •   \forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k

ejercicio

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) |x| \ge 3\;
b) |x-2|\le 3\;

[editar]

Actividades

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Valor_absoluto_%281%C2%BA_Bach%29"
Herramientas personales
phpMyVisites * AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda