Números naturales

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-{{Menú Matemáticas 3ESO+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
|ir= |ampliar= |ir= |ampliar=
|repasar= |repasar=
-[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/naturales1/index.htm Operaciones I]<br>[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/naturales2/index.htm Operaciones II]<br>[http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/usr/eltanque/Tablas/TablasIE.html Tablas de multiplicar]<br>[http://genmagic.org/moodle/mod/book/view.php?id=157 Mi libreta]+[http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/usr/eltanque/Tablas/TablasIE.html Tablas de multiplicar]
-|enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Numeros_naturales Números naturales]<br>[http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica Aritmética]+|enlaces=
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Definición==+=Números naturales=
-{{Caja Amarilla|texto=El conjunto de los '''números naturales''' es <math>\mathbb{N}=\left \lbrace 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace</math>. Son infinitos y sirven para contar ('''números cardinales''': 1, 2, 3, ...) o para ordenar ('''números ordinales''': 1º, 2º, 3º, ...).}}+{{Números naturales}}
-Podemos representarlos en una recta:+=Operaciones con naturales=
-<center>[[Imagen:recta_naturales.png|500px]]</center>+{{Info|texto=Para repasar los conceptos mas básicos:
-{{p}}+
-==Operaciones==+:*[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-add-subtract Suma y resta de números naturales]
-===Suma y multiplicación===+:*[http://es.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-multiply-divide Multiplicación y división de números naturales]
-La '''suma''' (o adición) y la '''multiplicación''' (o producto) de dos números naturales es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son '''[http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica leyes de composición interna]'''.+}}
{{p}} {{p}}
-===Resta y división===+{{AI_cidead
-La '''resta''' (o substracción)y la '''división''' (o cociente) de dos números naturales no siempre es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son '''[http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica leyes de composición externa]'''.+|titulo1=Para empezar
 +|descripcion=*Sabrías sumar de forma fácil y sin calculadora los 100 primeros números naturales?
 +*El misterioso número 6174.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_presenta_1a.htm
 +}}
 +{{p}}
 +==Suma y resta de números naturales==
 +{{Suma y resta de números naturales}}
 +{{p}}
 +===Suma===
 +{{suma de naturales}}
 +{{p}}
 +====Propiedades de la suma de números naturales====
 +{{Propiedades de la suma de números naturales}}
{{p}} {{p}}
-===Propiedades=== 
-La suma y la multiplicación cumplen las siguientes propiedades: 
-{{Caja Amarilla|texto= 
-*'''Propiedad asociativa:'''  
-::<math>(a+b)+c=a+(b+c)\,\!</math> 
-::<math>(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b \cdot c)</math> 
-*'''Propiedad conmutativa:'''  
-::<math>a+b=b+a\,\!</math> 
-::<math>a \cdot b=b \cdot a</math> 
-*'''Propiedad distributiva:'''  
-::<math>a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c</math> 
-}} 
-La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones '''sacando factor común'''. Veamos un ejemplo 
 +===Resta===
 +{{Resta de naturales}}
 +{{p}}
-{{Ejemplo+==Multiplicación o producto de números naturales==
-|titulo=Ejemplo: ''Sacar factor común''+{{Multiplicacion de naturales}}
-|enunciado=+
-:Saca factor común en la expresión <math>16x^3-24x^2+4x</math>+
-|sol=+
-El factor común, que se repite en los tres sumandos, es <math>4x\,\!</math>. Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común <math>4x\,\!</math>, dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:+
-<center><math>4x \cdot (4x^2-6x+1)</math></center>+
-}}+
{{p}} {{p}}
- +===Propiedades de la multiplicación de números naturales===
-===División===+{{Propiedades de la multiplicación de números naturales}}
-La '''división''' puede verse como un reparto de un número de elementos ('''dividendo''') en un número de partes iguales ('''divisor'''), que da como resultado el número de elementos que corresponden a cada parte ('''cociente''') y un posible número de elementos sobrantes ('''resto'''). Si el resto es cero la división se llama '''exacta''', si no, se llama '''entera'''.+
-{{Caja_Amarilla+
-|texto=+
-'''[http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_la_divisi%C3%B3n Algoritmo de la división]:'''+
-En toda división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.+
-{{caja|contenido=<math>D=d \cdot c + r</math>}}+
-donde '''D''' es el dividendo, '''d''' el divisor, '''c''' el cociente y '''r''' el resto.+
-}}+
{{p}} {{p}}
-===Potenciación===+===Producto por 10, 100, 1000, ....===
-{{Caja Amarilla|texto=+{{Producto por 10, 100, 1000}}
-Una potencia de '''base''' ''a'' y '''exponente''' ''n'' consiste en multiplicar ''n'' veces la base ''a''.+
-<center><math>a^n =a \cdot a \cdots a</math></center>}}+
{{p}} {{p}}
-Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo. 
-En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:+==División o cociente de números naturales==
 +{{División de naturales}}
 +{{p}}
 +===Cociente por defecto y por exceso===
 +{{Cociente por defecto y por exceso}}
 +{{p}}
-* La '''base''' es el número que se multiplica por sí mismo+===Propiedades de la división de números naturales===
-* El '''exponente''' es el número que indica las veces que la base aparece como factor.+{{Propiedades de la división de números naturales}}
-Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño. +==Potenciación de naturales==
- +{{def potencia natural}}
-Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia". +{{p}}
- +{{Casio FX-100MS: Potencias}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Potencia de un número.+
-|actividad=+
-Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.+
{{p}} {{p}}
-{{Caja|contenido=<iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/definic_1.html 
-width=500 
-height=250 
-name=myframe 
-</iframe>}} 
- 
-Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno: 
-a) ¿Qué valor tiene una las potencia cuya base es el número 0 sea cual sea el exponente?+===Operaciones con potencias de naturales. Propiedades===
- +{{Video_enlace_sensei
-b) ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1 sea cual sea el exponente?+|titulo1=Operaciones con potencias de números naturales
- +|duracion=12'08"
-c) ¿Qué valor tienen las potencias de cualquier base cuando su exponente es el número 0 ?+|sinopsis=En este videotutorial haremos una introducción a las operaciones con potencias más usuales.
- +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=7VN_1Ga66jc&index=7&list=PLA0brQx7U3OVuqlFgdMawKu5TtMwqCbH5
-d) ¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1 ?+
- +
-Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base+
-}}+
}} }}
 +{{p}}
 +{{propiedades potencias naturales}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo: propiedades potencias naturales}}
 +{{p}}
 +{{Videos: propiedades potencias naturales}}
 +{{p}}
-====Propiedades====+===Actividades===
-{{Caja Amarilla|texto=<center><math>a^0=1\,\!</math>{{b}}{{b}}<math>a^m \cdot a^n=a^{n+m}</math>{{b}}{{b}}<math>\cfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\,\!</math>{{b}}{{b}}<math>(a^m)^n=a^{m \cdot n}</math>+{{actividades potencias naturales}}
-</center>+{{p}}
-}}<br>+===Potencias de 10===
 +{{Expresión abreviada de números grandes}}
 +{{p}}
 +===Descomposición polinómica de un número===
 +{{Descomposición polinómica de un número}}
 +{{p}}
 +==Raíz cuadrada de un número natural==
 +{{Raíz cuadrada de un número}}
 +{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Propiedades de las potencias''|cuerpo=+==Raíces exactas y raíces enteras==
-{{ai_cuerpo+{{Raíces exactas y raíces enteras}}
-|enunciado=1. Propiedades de las potencias de números naturales.+
-|actividad=+
-En las siguientes escenas, para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.+
{{p}} {{p}}
-* '''Producto de potencias de la misma base:'''+===Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo===
 +{{Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo}}
 +{{p}}
 +{{wolfram desplegable|titulo=Raíces cuadradas|contenido=
 +{{wolfram
 +|titulo=Actividad: ''Raíces cuadradas''
 +|cuerpo=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
-El producto de varias potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes.+:a) Calcula la raíz de 400.
 +:b) Calcula la raíz entera de 3900 por tanteo.
 +:c) Calcula la raíz entera de 3900 directamente.
-{{Caja|contenido=<iframe>+{{p}}
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/producto_1.html+|sol=
-width=550+Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-height=350+
-name=myframe+
-</iframe>}}+
- +
-* '''Cociente de potencias de la misma base:'''+
- +
-El cociente de dos potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la resta de los exponentes.+
- +
-{{Caja|contenido=<iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/cociente_1.html+
-width=550+
-height=350+
-name=myframe+
-</iframe>}}+
- +
-* '''Potencia de exponente 0:'''+
- +
-Sigue actuando sobre la escena anterior, haz que los dos exponentes sean iguales, ello dará como resultado una potencia de exponente 0. Observa el valor de esa potencia.+
- +
-Habrás descubierto que: Una potencia de exponente 0 vale 1.+
- +
-* '''Potencia de una potencia:'''+
- +
-La potencia de una potencia equivale a una potencia simple cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.+
- +
-{{Caja|contenido=<iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/potpot_1.html+
-width=550+
-height=350+
-name=myframe+
-</iframe>}}+
- +
-* '''Potencia de un producto:'''+
- +
-La potencia de un producto equivale al producto de potencias cuyas bases son cada uno de los factores y cuyo exponente es el mismo.+
- +
-{{Caja|contenido=<iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/potprod_1.html+
-width=550+
-height=350+
-name=myframe+
-</iframe>}}+
 +:a) {{consulta|texto=sqrt (400)}}
 +:b) {{consulta|texto=n^2 for n=60 to 70}} y seleccionando.
 +:c) {{consulta|texto=IntegerPart [sqrt (3900)]}}
 +{{widget generico}}
}} }}
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=2. Autoevaluación. 
-|actividad= 
-En las siguientes escenas rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final. 
-Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número.  
- 
-# '''Elementos de una potencia:''' 
- 
-{{Caja|contenido=<iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/prueba_1.html 
-width=500 
-height=250 
-name=myframe 
-</iframe>}} 
- 
-# '''Operaciones con potencias de la misma base:''' 
- 
-{{Caja|contenido=<iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/prueba_2.html 
-width=500 
-height=250 
-name=myframe 
-</iframe>}} 
- 
-# '''Asocia los resultados de estas potencias:''' 
- 
-{{Caja|contenido=<iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/prueba_3.html 
-width=500 
-height=350 
-name=myframe 
-</iframe>}} 
}} }}
}} }}
-{{AI|titulo=Actividades Interactivas: ''Potencia de exponente natural''|enunciado=+===Algoritmo de la raíz cuadrada===
-#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/definic.htm Concepto de potencia]+{{Algoritmo de la raíz cuadrada}}
-#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/producto.htm Producto de potencias de la misma base]+
-#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/cociente.htm Cociente de potencias de la misma base. Potencia de exponente 0]+
-#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/potpot.htm Potencia de una potencia]+
-#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/potprod.htm Potencia de un producto]+
-#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/prueba.htm Autoevaluación]+
-#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/juegos.htm Juegos]+
-}}+
{{p}} {{p}}
-===Jerarquía de las operaciones===+==Jerarquía de las operaciones con naturales==
-A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas:+{{Jerarquia naturales}}
-{{Caja Amarilla|texto=Se efectúan primero el contenido de los paréntesis. De las operaciones, la de mayor prioridad es la potenciación, seguida de la multiplicación y las división y, para terminar, la suma y la resta.+ 
-Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.}}+=Calculadora=
 +==Suma, resta, multiplicación y división==
 +{{Casio FX-100MS: Suma, resta, multiplicación y división}}
 +{{p}}
 +==Paréntesis==
 +{{Casio FX-100MS: Paréntesis}}
 +{{p}}
 +==Potencias==
 +{{Casio FX-100MS: Potencias naturales}}
 +{{p}}
 +==Raíz cuadrada==
 +{{Casio raiz cuadrada}}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Jerarquía de las operaciones''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=1. Operaciones combinadas. 
-|actividad= 
-En esta actividad debes escribir en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión y pulsar "intro". Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá. 
-Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.+=Ejercicios y problemas=
- +{{Ejercicios números naturales}}
-Al picar sobre inicio aparecerá otra expresión diferente de operaciones combinadas. Resuelve varias de ellas.+{{Ejercicios sistemas de numeración y numeros naturales}}
- +{{Ejercicios potencias y raices}}
-{{Caja|contenido=<iframe>+{{p}}
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/naturales2/opcombin_1.html+{{p}}
-width=450+
-height=350+
-name=myframe+
-</iframe>}}+
- +
-}}+
-}}+
-<br>+
- +
-==Ejercicios y problemas==+
-===Ejercicios===+
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Ejercicios |titulo=Ejercicios
Línea 283: Línea 196:
'''4. '''Extrae factor común: '''4. '''Extrae factor común:
-:a) <math>-18a+20a-10a\,\!</math>{{b}}b) <math>15x-60x^2\,\!</math>{{b}}c) <math>5ba^2-3ab+2ba^3</math>+:a) <math>-18a+20a-10a\,\!</math>{{b}}b) <math>15x-60x^2\,\!</math>{{b}}c) <math>5ba^2-3ab+2ba^3\;\!</math>
<p></p> <p></p>
|sol= |sol=
Línea 290: Línea 203:
}} }}
{{p}} {{p}}
-===Problemas=== 
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Problemas |titulo=Problemas
Línea 308: Línea 220:
}} }}
-==Calculadora==+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]
-{{Wiris+
-|titulo=WIRIS: ''Operaciones con números naturales''+
-|enunciado=+
-Revisa estos [http://maralboran.ath.cx/wikipedia/wiris/operaciones_aritmeticas.html ejemplos] y utiliza el editor para calcular:+
-<center><math>\cfrac{14 \cdot(5-3)^2}{9-2}</math></center>+
-Comprueba el resultado también con tu calculadora. ''(Solución: 8)''+
-}}+
-{{p}}+

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

  • Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
  • Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
  • Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Representación de los números naturales

ejercicio

Representación de los números naturales

Los números naturales podemos representarlos en una recta:

  • Sobre ella marcamos el número cero.
  • A la derecha del cero, y a distancias iguales, situamos los números naturales: 1, 2, 3,...

Orden en los números naturales

En la representación de los números naturales en la recta numérica se observa la relación de orden que existe en dicho conjunto. Diremos que los números naturales están ordenados (véase números ordinales), lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí.

Un número natural es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica y es menor si está situado más a la izquierda.

ejercicio

Orden en el conjunto de los números naturales

Dados dos números naturales cualesquiera, a\; y b\;, se dará uno de los siguientes casos:

  • El primero es menor que el segundo: a<b\; (Se lee "a es menor que b").
  • El primero es igual que el segundo: a=b\; (Se lee "a es igual que b").
  • El primero es mayor que el segundo: a>b\; (Se lee "a es mayor que b").

Notación desarrollada de un número natural

La notación desarrollada de un número natural consiste en expresarlo como suma de los valores relativos de cada uno de sus dígitos.

Lectura y escritura de números naturales

ejercicio

Reglas

  • Al leer números, primero se separan las cifras, de tres en tres, empezando por la derecha. Después se leen de izquierda a derecha, como si fuesen números de tres cifras, y se añaden las palabras mil, millones, billones, trillones,... donde corresponda.
  • Hasta el número treinta siempre se escribe con una sola palabra.
  • Según indica la Real Academia Española, al escribir números de más de cuatro cifras, se agruparán estas de tres en tres, empezando por la derecha, y separando los grupos por espacios en blanco y no por puntos o comas (8 327 451). Los números de cuatro cifras se escriben sin espacios de separación (2458).

Los números grandes

Los números naturales son infinitos y nuestro sistema de numeración decimal nos permite representar cualquiera de ellos por muy grandes que sean.

Los números grandes más usuales son:

  • 1 millón = 1 000 000 (1 seguido de 6 ceros)
  • 1 billón = 1 millón de millones = 1 000 000 000 000 (1 seguido de 12 ceros)
  • 1 trillón = 1 millón de billones = 1 000 000 000 000 000 000 (1 seguido de 18 ceros)
  • 1 millardo = Mil millones = 1 000 000 000 (1 seguido de 9 ceros)

Operaciones con naturales

información
Para repasar los conceptos mas básicos:

Suma y resta de números naturales

Suma

  • Sumar es unir, juntar, añadir.
  • La suma o adición de dos números naturales, a y b, da como resultado otro número natural, c. Se representa: a+b=c.
    • a y b reciben el nombre de sumandos.
    • El resultado, c, se denomina suma.

Propiedades de la suma de números naturales

ejercicio

Propiedades de la suma

  • Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,

Resta

  • Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
  • La resta o sustracción de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
  • a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.

Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

  • Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
  • La multiplicación o producto de dos números naturales, a\; y b\;, se representa a \cdot b = c.
  • a\; y b\; se llaman factores y c se denomina producto.

Propiedades de la multiplicación de números naturales

ejercicio

Propiedades de la multiplicación

  • Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:
a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,

ejercicio

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).


División o cociente de números naturales

El siguiente video resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

Sean D\; y d\; dos números naturales, con d \ne 0.

  • La división o cociente de D\; entre d\; consiste en ver cuantas veces está contenido d\; en D\;.
    • Se representa por D : d=c\;.
    • A D\; lo llamaremos dividendo, a d\; divisor y al resultado de la división, c\;, cociente.

  • Vamos a distinguir dos casos:
    • Si d\; está contenido en D\; un número "exacto" de veces (el cociente, c\;, es un número natural tal que D=d \cdot c\;), diremos que la división es exacta.
    • En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural r\;, menor que d\;, de manera que si dividimos D-r\; entre d\;, la división es exacta. A dicho número r\; lo llamaremos resto o residuo de la división.
20:4 = 5
Aumentar
20:4 = 5

ejercicio

Algoritmo de la división

Dados D\;\! y d\;\! , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, c\;\! y r\;\! , tales que:

D=d \cdot c + r

D\;\! es el dividendo, d\;\! el divisor, c\;\! el cociente y r\;\! el resto.

ejercicio

Ejercicio: División con naturales

Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?

Cociente por defecto y por exceso

ejercicio

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?
b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Propiedades de la división de números naturales

ejercicio

Propiedades

  • No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
  • La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
  • Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
  • Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

Potenciación de naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

Calculadora

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Operaciones con potencias de naturales. Propiedades

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

Actividades

Potencias de 10

ejercicio

Potencia de base 10

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente

Esto permite expresar números grandes con muchos ceros como producto de un número por una potencia de 10.

Descomposición polinómica de un número

La descomposición polinómica de un número consiste en expresar dicho número como una suma, en la que cada sumando es cada cifra del número multiplicada por una potencia de 10, cuyo exponente es una unidad menos de la posición que ocupa la cifra que la multiplica.

Raíz cuadrada de un número natural

La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado:

La raíz cuadrada de un número a\; es otro número b\; que elevado al cuadrado da a\;. Simbólicamente:

\sqrt{a}=b \ \iff \ b^2=a

Al número a\; se le llama radicando y al número b\; se le llama raíz.

Raíces exactas y raíces enteras

Los cuadrados perfectos son los cuadrados de los números naturales:

\left\{1,\, 4,\, 9,\, 16,\, 25,\, \cdots \right\}

  • Raíz cuadrada exacta es aquella cuyo radicando es un cuadrado perfecto.
  • Raíz cuadrada inexacta es aquella cuyo radicando no es un cuadrado perfecto.
  • Raíz cuadrada entera de un número es el mayor número natural cuyo cuadrado es menor o igual que dicho número. Se llama resto de la raíz cuadrada entera de un número a la diferencia entre dicho número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera.

Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo

Calcular una ráiz cuadrada por tanteo consiste en ir probando con distintos números, viendo si sus cuadrados son menores, mayores o iguales que el radicando, hasta averiguar entre qué dos cuadrados perfectos se encuentra el radicando.

Algoritmo de la raíz cuadrada

Jerarquía de las operaciones con naturales

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

Potencias

Calculadora

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Raíz cuadrada

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Ejercicios y problemas

ejercicio

Ejercicios

1. Calcula:

a) 7+3\cdot5-2=
b) (7+3)\cdot5-2=
c) 7+3\cdot(5-2)=
d) (7+3)\cdot(5-2)=

2. Simplifica:

a) (x^2)^5\,\! b) x^3 \cdot x^4 \cdot x^2 c) (x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x

3. Simplifica:

a) \cfrac{3^5}{3^2} b) \cfrac{5^4}{5^2} c) \cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}

4. Extrae factor común:

a) -18a+20a-10a\,\! b) 15x-60x^2\,\! c) 5ba^2-3ab+2ba^3\;\!

ejercicio

Problemas

1. Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?
2. Una empresa compra una máquina de café por 6.000 €. Cada mes se gasta 100 € en mantenimiento pero obtiene 350 € por la venta de café. Al cabo de 2 años y medio la vende por 4920 €. ¿Qué beneficio mensual le ha aportado la máquina?
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales"
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