Número áureo

El número áureo, es un número irracional cuyo valor es:

Fue el primer número del que se tuvo conciencia que era irracional. Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

También se le conoce como número de oro, razón áurea, sección áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrita entre 1496 y 1498).

Proposición 1

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Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.

Demostración:

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Partimos de la proporción dada:

Separamos en dos sumandos el término de la izquierda:

Llamando , tenemos que , de manera que:

Quitando denominadores y trasponiendo términos:

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

con lo que queda demostrado.

Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

Proposición 2

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Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Demostración:

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Partimos de un rectángulo áureo. Lo dividimos en un cuadrado de lado su lado menor y otro rectángulo pequeño, como se observa en la Fig. 2.

Veamos que el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Para ello tendremos que comprobar que

Por ser el rectángulo de partida un rectángulo áureo, se cumple que la proporción entre sus lados es el número áureo:

Operando:

c.q.d.

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

• El árbol genealógico de las abejas: Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig)
• La distribución de las hojas en un tallo. (Sucesión de Fibonacci)
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
• En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.
• La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total.
• La cantidad de pétalos en las flores.
• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. (Fig. 5)
• Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 28"
• Los televisores de pantalla ancha, las postales, las tarjetas de crédito y las fotografías se ajustan por lo común a sus proporciones.
• Se han llevado a cabo muchos experimentos para probar que las proporciones de los rostros de las top models se adecuan más estrechamente a la sección áurea que las del resto de la población. Lo cual, supuestamente, explica por qué las encontramos bellas.

• Sus comienzos se sitúan en Egipto. Aparece, por ejemplo, en construcciones como la pirámide de Keops, en la que el cociente entre la altura de uno cualquiera de sus triángulos laterales con el la mitad del lado de la base es igual a Φ. (Fig. 6)

• Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza. Creyeron que el entendimiento de la proporción podría ayudar a acercarse a Dios: Dios «estaba» en el número. En su libro Los Elementos (300 a. C.), Euclides demostró la proporción que Platón había denominado «la sección», y que más tarde se conocería como «sección áurea». Ésta constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griegos. El famoso escultor Fidias (de ahí le viene el nombre Φ (phi) al número de oro) en su diseño del Partenón utilizó repetidamente la proporción áurea. El alzado del Partenón se enmarca en un rectángulo áureo, AB/CD= Φ. Además, hay muchas más proporciones áureas, como por ejemplo: AC/AD= Φ. (Fig. 7)

• Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas también erigieron estas asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Aurea. En este sentido, Dios realmente estaba en los números.

• En su obra «La divina proporción», editada en 1509, Luca Pacioli propone un hombre perfecto en el que encontramos la razón áurea en las relaciones entre distintas partes del cuerpo:

Luca Pacioli, un amigo de Leonardo da Vinci al que conoció mientras trabajaba en la corte de Ludovico Sforza, duque de Milán, escribió un tratado crucial sobre la Sección Áurea, titulado De divina proportione. En este libro, Pacioli intenta explicar el significado de la Divina Proporción de una forma lógica y científica, aunque lo que él creía era que su esquiva cualidad reflejaba el misterio de Dios. Esta y otras obras de Pacioli parece que influyeron profundamente a Leonardo, y ambos se convirtieron en amigos inquebrantables, trabajando incluso juntos sobre problemas matemáticos. El uso de la Sección Áurea es evidente en las obras principales de Leonardo, quien mostró durante mucho tiempo un gran interés por las matemáticas del arte y de la naturaleza. Como el brillante Pitágoras antes que él, Leonardo hizo un estudio en profundidad de la figura humana, demostrando que todas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea. Se ha dicho que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra al santo con un león a sus pies, fue pintada en un intencionado estilo para asegurarse de que un rectángulo dorado (véase entrada) encajara perfectamente alrededor de la figura central. Dada la afición de Leonardo por la «geometría recreativa», esto parece una suposición razonable. También el rostro de la Mona Lisa encierra un rectángulo dorado pertecto. (Fig. 9)

Después de Leonardo, artistas como Rafael y Miguel Angel hicieron un gran uso de la Sección Áurea para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ángel, "El David", se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

Es necesario desmentir la expandida aseveración de que el número áureo aparece en la conocida representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue estrictamente las proporciones fraccionarias del cuerpo humano que Vitruvio describe en su libro De architectura; concretamente en el Capítulo I del Libro Tercero, “El origen de las medidas del Templo”. (Algunos habían afirmado que en la famosa pintura de Leonardo de Vinci (1452-1519), el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia desde el ombligo hasta los pies (radio de la circunferencia) es el número de oro. No es cierto.) (Fig. 8)

• A lo largo de la historia ha fascinado a muchos científicos, artistas, poetas, ... Por ejemplo, encontramos la siguiente cita de Kepler (1571-1630):

Creo que de esta proporción geométrica se sirvió el Creador como la idea por medio de la que introdujo la generación continua de objetos semejantes a partir de objetos semejantes.

O este soneto que escribió Rafael Alberti cerrando el premio a la obra de Luca Pacioli en la edición de 1949 de la Ed. Losado, S. A., en Buenos Aires:

• Muchas piezas musicales de grandes compositores como Mozart, Beethoven, Bartók, Debussy, Schubert y Bach entre otros utilizaron la relación áurea para la división del tiempo en sus obras y en su estructura, de todas formas esto no tiene una percepción directa por el auditorio.

• Los más apasionados del número de oro incluso hablan de su posible relación con la vida. Aseguran que, si se colocan todos los planetas en fila y se calcula cómo uno divide las distancias entre dos planetas vecinos, se observa que solo la Tierra se sitúa en el punto que se expresa por el número de sección áurea.