Factoriales y números combinatorios (1ºBach)
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| ==Factoriales== | ==Factoriales== | ||
| - | {{Caja Amarilla|texto=Se define el '''factorial''' de un número entero positivo "n" es el número | + | {{Caja Amarilla|texto=Sea {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>n \in \mathbb{Z}^+</math>}}, se define el '''factorial''' de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>n\;</math>}} como |
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| - | <center><math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n = \prod_{k=1}^n k | + | <center><math>n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n |
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| - | :<math>5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math> | + | :<math>4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24</math> |
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| - | La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. | + | {{Historia|titulo=Un poco de historia|texto= |
| - | De manera fundamental el factorial de ''n'' representa el número de formas distintas de ordenar ''n'' objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos hindúes. | + | |
| - | La notación matemática actual ''n''! fue usada por primera vez en 1808 por [[Christian Kramp]] (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida. | + | La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en '''[[combinatoria]]''' y análisis matemático. |
| + | De manera fundamental el factorial de ''n'' representa el número de formas distintas de ordenar ''n'' objetos distintos ('''[[Combinatoria#Permutaciones|permutaciones]]'''). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes. | ||
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| + | La notación matemática actual, {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>n!\;</math>}}, fue usada por primera vez en 1808 por [[Christian Kramp]] (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida. | ||
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| ==Números combinatorios== | ==Números combinatorios== | ||
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| + | También se suele decir que es el "número de [[Combinatoria#Combinaciones|'''combinaciones''']] de <math>n\;</math> elementos tomados de <math>k\;</math> en <math>k\;</math>" y, por tanto, que se le conozca también como "'''número combinatorio'''".}} | ||
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| - | El coeficiente binomial está dado por la fórmula: | + | El coeficiente binomial viene dado por la fórmula: |
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| - | Si se tiene un conjunto con ''n'' elementos, de los cuales se van a escoger ''k'' de ellos, la elección (ordenada) puede hacerse de <math> n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1) </math> formas, ya que en el primer paso se tienen ''n'' opciones, en el segundo se tienen ''n''-1, en el tercero ''n''-2, y así sucesivamente, terminando en el paso ''k'' que tendrá ''n-k''+1 opciones. | + | |
| - | Ahora, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones «equivalentes». Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden. | + | Si se tiene un conjunto con ''n'' elementos, de los cuales se van a escoger ''k'' de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de |
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| + | Ahora, para eliminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden. | ||
| Concluimos que el número de subconjuntos con ''k'' elementos, escogidos de un conjunto con ''n'' elementos es | Concluimos que el número de subconjuntos con ''k'' elementos, escogidos de un conjunto con ''n'' elementos es | ||
| - | <center><math> {n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdots k}</math></center> | + | <center><math> {n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}</math></center> |
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| - | Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por <math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;</math> | + | Multiplicando el numerador y el denominador por <math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;</math> |
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| - | <center><math> {n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{(1\cdot 2\cdot 3\cdots k)\Big(1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k)\Big)}</math></center> | + | <center><math> {n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}</math></center> |
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| o lo que es lo mismo, expresado con factoriales: | o lo que es lo mismo, expresado con factoriales: | ||
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| <center><math>{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}</math></center> | <center><math>{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}</math></center> | ||
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Tabla de contenidos |
(Pág. 43)
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Factoriales
Sea 
, se define el factorial de 
como
y se define, por convenio:
.
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.
La notación matemática actual, 
, fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
Tutorial (6'20") Sinopsis:El factorial de un número. Ejemplos. Obtención del factorial de un número con la calculadora.
Ejemplo 1 (0'56") Sinopsis:Calcula 10!
Ejemplo 2 (0'48") Sinopsis:Calcula 8!
Ejemplo 3 (0'47") Sinopsis:Calcula 5!
Ejemplos 4 (9'09") Sinopsis: Factorial de un número. Ejemplos.
Ejercicio 1 (10'06") Sinopsis: a) Halla "x": 
b) Halla "a": 
Ejercicio 2 (8'15") Sinopsis: a) Calcula 
sabiendo que 
b) Simplifica: 
Ejercicio 3 (13'30") Sinopsis: a) Halla "a": 
b) Halla "x": 
Actividad: Factoriales Calcula:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: a) 5! b) simplify n!/(n-1)!
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(Pág. 43)
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Números combinatorios
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Coeficiente binomial
Sean 
. Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por 
, al número de subconjuntos de 
elementos escogidos de un conjunto con elementos. Se lee "n sobre k".
También se suele decir que es el "número de combinaciones de elementos tomados de en " y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".
Proposición
El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:
Demostración:
Demostración:
Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de
formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.
Ahora, para eliminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es
Multiplicando el numerador y el denominador por 
o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:
[editar]
Propiedades de los números combinatorios
Propiedades
Demostración:
Demostración:
- En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el
) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
- En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
- Esta demostración podéis verla en el siguiente vídeo:
Demostración (13'22") Sinopsis:Demostración de las propiedades de los números combinatorios.
Tutorial 1 (8'00") Sinopsis: Los 8 últimos minutos de este tutorial tratan sobre números combinatorios.
Tutorial 2 (6'01") Sinopsis:Ejemplos de cálculo de números combinatorios. Obtención con la calculadora.
Ejemplos (8'27") Sinopsis:Ejemplos de cálculo de números combinatorios.
Ejercicio 1 (1'32") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 2 (1'00") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 3 (1'07") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 4 (1'57") Sinopsis:Comprueba que: 
Ejercicio 5 (1'48") Sinopsis:Comprueba que: 
Ejercicio 6 (2'47") Sinopsis:Comprueba que: 
Ejercicio 7 (2'05") Sinopsis:Calcula: 
Actividad: Números combinatorios Calcula:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: a) C(6,4) b) C(n,n-1)
|
