Factoriales y números combinatorios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Factoriales
2 Números combinatorios
- 2.1 Coeficiente binomial
- 2.2 Propiedades de los números combinatorios

(Pág. 43)

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Factoriales

Sea $n \in \mathbb{Z}^+$ , se define el factorial de $n\;$ como

$n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n$

y se define, por convenio:

$0! = 1 \;$ .

Ejemplo

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Un poco de historia

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.

La notación matemática actual, $n!\;$ , fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.

Factoriales

Tutorial (6'20") Sinopsis:

El factorial de un número. Ejemplos. Obtención del factorial de un número con la calculadora.

Ejemplo 1 (0'56") Sinopsis:

Calcula 10!

Ejemplo 2 (0'48") Sinopsis:

Calcula 8!

Ejemplo 3 (0'47") Sinopsis:

Calcula 5!

Ejemplos 4 (9'09") Sinopsis:

Factorial de un número. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'06") Sinopsis:

a) Halla "x": $\cfrac{(x+2)!}{(x+1)!}=10$

b) Halla "a": $\cfrac{(a+2)!}{a!}=\cfrac{4!}{2}$

Ejercicio 2 (8'15") Sinopsis:

a) Calcula $x^2+x+1\;$ sabiendo que $(x!)!=720\;$

b) Simplifica: $\cfrac{(a+8)!(a+6)!}{(a+7)!+(a+6)!}=14!$

Ejercicio 3 (13'30") Sinopsis:

a) Halla "a": $7 \cdot (6!)^2+a^2=2 \cdot (6!)(3a-6!)\;$

b) Halla "x": $\cfrac{(x-1)!+(x-2)!+(x-3)!}{(x-3)!}=25$

Factoriales

Actividad: Factoriales

Calcula:

a) $5! \;$

b) $\cfrac{n!}{(n-1)!}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 5!

b) simplify n!/(n-1)!

(Pág. 43)

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Números combinatorios

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Coeficiente binomial

Sean $n,k \in \mathbb{N} \ , n \ge k$ . Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por ${n\choose k}$ , al número de subconjuntos de $k\;$ elementos escogidos de un conjunto con $n\;$ elementos. Se lee "n sobre k".

También se suele decir que es el "número de combinaciones de $n\;$ elementos tomados de $k\;$ en $k\;$ " y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".

Proposición

El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

Demostración:

Demostración:

Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1)$

formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.

Ahora, para eliminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.

Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es

${n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}$

Multiplicando el numerador y el denominador por $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;$

${n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}$

o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

c.q.d.

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Propiedades de los números combinatorios

Propiedades

${n\choose 0} = {n\choose n} = 1$
${n\choose k} = {n\choose n-k}$
${n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}$

Demostración:

Demostración:

En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el $\varnothing$ ) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
Esta demostración podéis verla en el siguiente vídeo:

Demostración (13'22") Sinopsis:

Demostración de las propiedades de los números combinatorios.

Números combinatorios

Tutorial 1 (8'00") Sinopsis:

Los 8 últimos minutos de este tutorial tratan sobre números combinatorios.

Tutorial 2 (6'01") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de números combinatorios. Obtención con la calculadora.

Ejemplos (8'27") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de números combinatorios.

Ejercicio 1 (1'32") Sinopsis:

Calcula: ${10 \choose 3}$

Ejercicio 2 (1'00") Sinopsis:

Calcula: ${7 \choose 5}$

Ejercicio 3 (1'07") Sinopsis:

Calcula: ${20 \choose 9}$

Ejercicio 4 (1'57") Sinopsis:

Comprueba que: ${6 \choose 6}={6 \choose 0}$

Ejercicio 5 (1'48") Sinopsis:

Comprueba que: ${9 \choose 6}={9 \choose 3}$

Ejercicio 6 (2'47") Sinopsis:

Comprueba que: ${8 \choose 3}+{8 \choose 4}={9 \choose 4}$

Ejercicio 7 (2'05") Sinopsis:

Calcula: ${12 \choose 4}+{5 \choose 3}-{8 \choose 6}$

Números combinatorios

Actividad: Números combinatorios

Calcula:

a) ${6 \choose 4} \;$

b) ${n \choose n-1} \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) C(6,4)

b) C(n,n-1)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factoriales_y_n%C3%BAmeros_combinatorios_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

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Tabla de contenidos

Factoriales

Números combinatorios

Coeficiente binomial

Propiedades de los números combinatorios

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 (Pág. 43)
 ==Factoriales==
-{{Caja Amarilla|texto=Se define el '''factorial''' de un número entero positivo "''n''" como
+{{Caja Amarilla|texto=Sea {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>n \in \mathbb{Z}^+</math>}}, se define el '''factorial''' de {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>n\;</math>}} como
 {{p}}
 <center><math>n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n
 |contenido=
 :<math>4! =   1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24</math>
+}}
+{{Historia|titulo=Un poco de historia|texto=
+La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en '''[[combinatoria]]''' y análisis matemático.
+De manera fundamental el factorial de ''n'' representa el número de formas distintas de ordenar ''n'' objetos distintos ('''[[Combinatoria#Permutaciones|permutaciones]]'''). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.
+La notación matemática actual, {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>n!\;</math>}}, fue usada por primera vez en 1808 por [[Christian Kramp]] (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
 }}
 {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejemplos: ''Factoriales''|enunciado=
+{{Videotutoriales|titulo=Factoriales|enunciado=
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+}}
+----
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 |titulo1=Ejemplo 1
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 |sinopsis=Calcula 8!
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 |sinopsis=Calcula 5!
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-}}
-La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático.
-De manera fundamental el factorial de ''n'' representa el número de formas distintas de ordenar ''n'' objetos distintos ('''permutaciones sin repetición'''). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.
-La notación matemática actual, {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>n!\;</math>}}, fue usada por primera vez en 1808 por [[Christian Kramp]] (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
-{{p}}
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-|titulo1=Tutorial
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-}}
-}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Permutaciones sin repetición''|enunciado=
-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Ejercicio 1
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-|sinopsis=Calcula las permutaciones de 4 elementos sin repetición: <math>P_{4}\;</math>
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-|titulo1=Ejercicio 2
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-|sinopsis=Calcula las permutaciones de 7 elementos sin repetición: <math>P_{7}\;</math>
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-}}
-----
-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Problema 1
-|duracion=1'16"
-|sinopsis=Calcula cuántos números de cuatro cifras diferentes (sin repetir la misma cifra) pueden formarse con los dígitos 3,5,7 y 9.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=N_99O3oTUm8&list=PL11093011D1BF0C20&index=1
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-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Problema 2
-|duracion=1'29"
-|sinopsis=Di el número de posibles clasificaciones de los 9 nadadores que participan en una prueba de 100 m mariposa.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=aKYGEwN4eD4&index=5&list=PL11093011D1BF0C20
-}}
-{{Video_enlace_unicoos
-|titulo1=Problema 3
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-|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con 5 dígitos distintos si no se pueden repetir las cifras? (Permutaciones sin repetición)|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/permutaciones/combinatoria-02-permutaciones-sin-repeticion
-}}
-}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Permutaciones con repetición''|enunciado=
-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=1'28"
-|sinopsis=Calcula las permutaciones de 12 elementos con repetición de 7,3 y 2: <math>PR^{7,3,2}_{12}\;</math>
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=CH9w3rClogU&index=1&list=PLC413A2269A25E59F
-}}
-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Ejercicio 2
-|duracion=2'02"
-|sinopsis=Calcula las permutaciones de 7 elementos con repetición de 3,2 y 2: <math>PR^{3,2,2}_{7}\;</math>
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ib5rbI1DhSQ&list=PLC413A2269A25E59F&index=2
-}}
-----
-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Problema 1
-|duracion=1'40"
-|sinopsis=Una pareja ha tenido 3 niñas y 1 niño. ¿En cuántos órdenes diferentes los ha podido tener?
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lj1tVKQYBGU&index=2&list=PL11093011D1BF0C20
-}}
-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Problema 2
-|duracion=2'13"
-|sinopsis=¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido, podemos forma con las letras de la palabra ORDENADOR?
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Uc7g6YhWAB4&list=PL11093011D1BF0C20&index=3
-}}
-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Problema 3
-|duracion=1'40"
-|sinopsis=¿De cuántas maneras distintas podemos ordenar 3 bolas verdes, 2 rojas y 1 azul?
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=K3idWlPI3Dw&list=PL11093011D1BF0C20&index=4
 }}
 }}
 ==Números combinatorios==
 ===Coeficiente binomial===
-{{Caja Amarilla|texto=Se llama '''coeficiente binomial''', y lo representaremos por <math> {n\choose k} </math>, o {{b}} <math> C^n_k \,</math>, o bien {{b}} <math> C_{n,k} \,</math>, al número de subconjuntos de <math>k\;</math> elementos escogidos de un conjunto con <math>n\;</math> elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de <math>n\;</math> elementos tomados de <math>k\;</math> en <math>k\;</math>" y, por tanto, que se le conozca también como "'''número combinatorio'''".}}
+{{Caja Amarilla|texto=Sean {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>n,k \in \mathbb{N} \ , n \ge k</math>}}. Se llama '''coeficiente binomial''', y lo representaremos por <math> {n\choose k} </math>, al número de subconjuntos de <math>k\;</math> elementos escogidos de un conjunto con <math>n\;</math> elementos. Se lee "n sobre k".
+También se suele decir que es el "número de [[Combinatoria#Combinaciones|'''combinaciones''']] de <math>n\;</math> elementos tomados de <math>k\;</math> en <math>k\;</math>" y, por tanto, que se le conozca también como "'''número combinatorio'''".}}
 {{p}}
 {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
 formas, ya que en el primer paso se tienen ''n'' opciones, en el segundo se tienen ''n''-1, en el tercero ''n''-2, y así sucesivamente, terminando en el paso ''k'' que tendrá ''n-k''+1 opciones.
-Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
+Ahora, para eliminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
 Concluimos que el número de subconjuntos con ''k'' elementos, escogidos de un conjunto con ''n'' elementos es
 c.q.d.
+}}
+{{p}}
+===Propiedades de los números combinatorios===
+{{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado=
+# <math>{n\choose 0} = {n\choose n} = 1</math>
+# <math>{n\choose k} = {n\choose n-k}</math>
+# <math>{n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}</math>
+|demo=
+'''Demostración:'''
+# En un conjunto con ''n'' elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el <math>\varnothing</math>) y solo un conjunto con ''n'' elementos (el propio conjunto de partida).
+# En un conjunto con ''n'' elementos, cada subconjunto con ''k'' elementos tiene un complementario con ''n-k'' elementos.
+# Esta demostración  podéis verla en el siguiente vídeo:
+{{p}}
+{{Video_enlace_8cifras
+|titulo1=Demostración
+|duracion=13'22"
+|sinopsis=Demostración de las propiedades de los números combinatorios.
+|url1=https://youtu.be/0oAo14L2zA0
+}}
 }}
 {{p}}
 {{Videotutoriales|titulo=Números combinatorios|enunciado=
+{{Video_enlace_fisicaymates
+|titulo1=Tutorial 1
+|duracion=8'00"
+|sinopsis=Los 8 últimos minutos de este tutorial tratan sobre números combinatorios.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=c6M6Ys6dbOs&list=PLaJK82VXGZpSsri2iLpaauCwe_1FFMDJI#t=8m9s
+}}
 {{Video_enlace_profesor10demates
-|titulo1=Tutorial
+|titulo1=Tutorial 2
 |duracion=6'01"
-|sinopsis=Tutorial sobre números combinatorios.
+|sinopsis=Ejemplos de cálculo de números combinatorios. Obtención con la calculadora.
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=fsrzbhBiz3w&index=34&list=PLunRFUHsCA1zpwjJvZOapw78qPj3WOWt3
+}}
+----
+{{Video_enlace
+|titulo1=Ejemplos
+|duracion=8'27"
+|sinopsis=Ejemplos de cálculo de números combinatorios.
+|url1=https://youtu.be/jD2h-3nkGEA
 }}
 ----
 {{Video_enlace_childtopia
 |titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=1'15"
+|duracion=1'32"
-|sinopsis=Calcula <math>C_{6,5}\;</math>
+|sinopsis=Calcula: <math>{10 \choose 3}</math>
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xi9WUi2inSY&list=PLB38EE06D8FA1BAAF&index=3
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xF3pxvI1XAQ&list=PL1B0AB868BB707040&index=7
 }}
 {{Video_enlace_childtopia
 |titulo1=Ejercicio 2
-|duracion=1'29"
+|duracion=1'00"
-|sinopsis=Calcula <math>C_{8,5}\;</math>
+|sinopsis=Calcula: <math>{7 \choose 5}</math>
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Fsza9K5uF9Q&list=PLB38EE06D8FA1BAAF&index=2
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kyHTCb9jQJI&list=PL1B0AB868BB707040&index=6
 }}
-----
 {{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Problema 1
+|titulo1=Ejercicio 3
+|duracion=1'07"
+|sinopsis=Calcula: <math>{20 \choose 9}</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=z_YrhcuPJ20&list=PL1B0AB868BB707040&index=5
+}}
+{{Video_enlace_childtopia
+|titulo1=Ejercicio 4
+|duracion=1'57"
+|sinopsis=Comprueba que: <math>{6 \choose 6}={6 \choose 0}</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=UniYVYqSJ-A&index=4&list=PL1B0AB868BB707040
+}}
+{{Video_enlace_childtopia
+|titulo1=Ejercicio 5
 |duracion=1'48"
-|sinopsis=Calcula cuántos zumos de cuatro frutas distintos se pueden hacer con siete clases de fruta.
+|sinopsis=Comprueba que: <math>{9 \choose 6}={9 \choose 3}</math>
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=VgfyU60lx88&index=1&list=PLB38EE06D8FA1BAAF
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xNuGKNY7pro&index=3&list=PL1B0AB868BB707040
 }}
-{{Video_enlace_unicoos
+{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Problema 2
+|titulo1=Ejercicio 6
-|duracion=6'43"
+|duracion=2'47"
-|sinopsis=Cálculo del número de apuestas de lotería primitiva distintas que se pueden hacer.
+|sinopsis=Comprueba que: <math>{8 \choose 3}+{8 \choose 4}={9 \choose 4}</math>
-|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/combinaciones/combinatoria-01-combinaciones-sin-repeticion
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-ATd-HtiSRE&index=2&list=PL1B0AB868BB707040
+}}
+{{Video_enlace_childtopia
+|titulo1=Ejercicio 7
+|duracion=2'05"
+|sinopsis=Calcula: <math>{12 \choose 4}+{5 \choose 3}-{8 \choose 6}</math>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=YCB839V-zVQ&index=1&list=PL1B0AB868BB707040
 }}
 }}
 {{p}}
-===Propiedades de los números combinatorios===
-{{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado=
-# <math>{n\choose 0} = {n\choose n} = 1</math>
-# <math>{n\choose k} = {n\choose n-k}</math>
-# <math>{n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}</math>
-|demo=
-'''Demostración:'''
-# En un conjunto con ''n'' elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el <math>\varnothing</math>) y solo un conjunto con ''n'' elementos (el propio conjunto de partida).
-# En un conjunto con ''n'' elementos, cada subconjunto con ''k'' elementos tiene un complementario con ''n-k'' elementos.
-# Esta demostración  no se da por su complejidad.
-}}
-==Apéndice==
-===Variaciones===
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones''' (ordinarias) de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), y se representa <math>V_m^n\;</math>, o bien <math>V_{m,n}\;</math>, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y no se pueden repetir los elementos.
-}}
-{{p}}
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Las variaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
-<center><math>V_{m,n}=\cfrac{m!}{(m-n)!}=m(m-1)(m-2)(m-3) \cdots (m-n+1)</math></center>
-|demo=
-'''Demostración:'''
-Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de m maneras distintas (puesto que dispongo de m elementos), el 2º de (m-1) maneras distintas, el 3º de (m-2), ..., y el n-ésimo, de (m-n+1) maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.
-}}
-{{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Variaciones|enunciado=
-{{Video_enlace_childtopia
-|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=1'12"
-|sinopsis=Calcula <math>V_{6,2}\;</math>
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Qhl9WmXctOk&index=4&list=PL90993E2D459449B0
-}}
-}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]