Factoriales y números combinatorios (1ºBach)

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1 Factoriales
2 Números combinatorios
- 2.1 Coeficiente binomial
- 2.2 Propiedades de los números combinatorios

(Pág. 43)

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Factoriales

Sea $n \in \mathbb{Z}^+$ , se define el factorial de $n\;$ como

$n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n$

y se define, por convenio:

$0! = 1 \;$ .

Ejemplo

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Un poco de historia

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.

La notación matemática actual, $n!\;$ , fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.

Factoriales

Tutorial (6'20") Sinopsis:

El factorial de un número. Ejemplos. Obtención del factorial de un número con la calculadora.

Ejemplo 1 (0'56") Sinopsis:

Calcula 10!

Ejemplo 2 (0'48") Sinopsis:

Calcula 8!

Ejemplo 3 (0'47") Sinopsis:

Calcula 5!

Ejemplos 4 (9'09") Sinopsis:

Factorial de un número. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'06") Sinopsis:

a) Halla "x": $\cfrac{(x+2)!}{(x+1)!}=10$

b) Halla "a": $\cfrac{(a+2)!}{a!}=\cfrac{4!}{2}$

Ejercicio 2 (8'15") Sinopsis:

a) Calcula $x^2+x+1\;$ sabiendo que $(x!)!=720\;$

b) Simplifica: $\cfrac{(a+8)!(a+6)!}{(a+7)!+(a+6)!}=14!$

Ejercicio 3 (13'30") Sinopsis:

a) Halla "a": $7 \cdot (6!)^2+a^2=2 \cdot (6!)(3a-6!)\;$

b) Halla "x": $\cfrac{(x-1)!+(x-2)!+(x-3)!}{(x-3)!}=25$

Factoriales

Actividad: Factoriales

Calcula:

a) $5! \;$

b) $\cfrac{n!}{(n-1)!}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 5!

b) simplify n!/(n-1)!

(Pág. 43)

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Números combinatorios

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Coeficiente binomial

Sean $n,k \in \mathbb{N} \ , n \ge k$ . Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por ${n\choose k}$ , al número de subconjuntos de $k\;$ elementos escogidos de un conjunto con $n\;$ elementos. Se lee "n sobre k".

También se suele decir que es el "número de combinaciones de $n\;$ elementos tomados de $k\;$ en $k\;$ " y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".

Proposición

El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

Demostración:

Demostración:

Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1)$

formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.

Ahora, para eliminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.

Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es

${n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}$

Multiplicando el numerador y el denominador por $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;$

${n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}$

o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

c.q.d.

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Propiedades de los números combinatorios

Propiedades

${n\choose 0} = {n\choose n} = 1$
${n\choose k} = {n\choose n-k}$
${n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}$

Demostración:

Demostración:

En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el $\varnothing$ ) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
Esta demostración podéis verla en el siguiente vídeo:

Demostración (13'22") Sinopsis:

Demostración de las propiedades de los números combinatorios.

Números combinatorios

Tutorial 1 (8'00") Sinopsis:

Los 8 últimos minutos de este tutorial tratan sobre números combinatorios.

Tutorial 2 (6'01") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de números combinatorios. Obtención con la calculadora.

Ejemplos (8'27") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de números combinatorios.

Ejercicio 1 (1'32") Sinopsis:

Calcula: ${10 \choose 3}$

Ejercicio 2 (1'00") Sinopsis:

Calcula: ${7 \choose 5}$

Ejercicio 3 (1'07") Sinopsis:

Calcula: ${20 \choose 9}$

Ejercicio 4 (1'57") Sinopsis:

Comprueba que: ${6 \choose 6}={6 \choose 0}$

Ejercicio 5 (1'48") Sinopsis:

Comprueba que: ${9 \choose 6}={9 \choose 3}$

Ejercicio 6 (2'47") Sinopsis:

Comprueba que: ${8 \choose 3}+{8 \choose 4}={9 \choose 4}$

Ejercicio 7 (2'05") Sinopsis:

Calcula: ${12 \choose 4}+{5 \choose 3}-{8 \choose 6}$

Números combinatorios

Actividad: Números combinatorios

Calcula:

a) ${6 \choose 4} \;$

b) ${n \choose n-1} \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) C(6,4)

b) C(n,n-1)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factoriales_y_n%C3%BAmeros_combinatorios_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

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 ==Números combinatorios==
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+También se suele decir que es el "número de [[Combinatoria#Combinaciones|'''combinaciones''']] de <math>n\;</math> elementos tomados de <math>k\;</math> en <math>k\;</math>" y, por tanto, que se le conozca también como "'''número combinatorio'''".}}
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 formas, ya que en el primer paso se tienen ''n'' opciones, en el segundo se tienen ''n''-1, en el tercero ''n''-2, y así sucesivamente, terminando en el paso ''k'' que tendrá ''n-k''+1 opciones.
-Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
+Ahora, para eliminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
 Concluimos que el número de subconjuntos con ''k'' elementos, escogidos de un conjunto con ''n'' elementos es
 # En un conjunto con ''n'' elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el <math>\varnothing</math>) y solo un conjunto con ''n'' elementos (el propio conjunto de partida).
 # En un conjunto con ''n'' elementos, cada subconjunto con ''k'' elementos tiene un complementario con ''n-k'' elementos.
-# Esta demostración  no se da por su complejidad.
+# Esta demostración  podéis verla en el siguiente vídeo:
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