Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)

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{{Tabla75|celda2=[[Imagen:Triangulo_Pascal_3.jpg|thumb|270px|Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.]] {{Tabla75|celda2=[[Imagen:Triangulo_Pascal_3.jpg|thumb|270px|Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.]]
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-{{Teorema_sin_demo|titulo=Teorema: ''Fórmula del binomio de Newton''|enunciado=El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:+{{Teorema|titulo=Teorema: ''Fórmula del binomio de Newton''|enunciado=El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:
<br> <br>
<center><math>(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n, <center><math>(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,
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siendo<math>{n\choose k}</math>, los [[Factoriales y números combinatorios (1ºBach)#Coeficientes binomiales | coeficientes binomiales]]. siendo<math>{n\choose k}</math>, los [[Factoriales y números combinatorios (1ºBach)#Coeficientes binomiales | coeficientes binomiales]].
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#Esto es inmediato, por como está construido el triángulo de Pascal. #Esto es inmediato, por como está construido el triángulo de Pascal.
#Esto es así porque <math>{n\choose {n-p}} = {n\choose p}</math>. [2] #Esto es así porque <math>{n\choose {n-p}} = {n\choose p}</math>. [2]
-#Esto es debido a que, por el teorema del binomio aplicado a (1+1)<sup>n</sup>:+#Esto es debido a que, por la fórmula del binomio de Newton aplicada al binomio (1+1)<sup>n</sup>:
{{p}} {{p}}
<center><math>2^n = (1+1)^n= {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} </math></center> <center><math>2^n = (1+1)^n= {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} </math></center>
:[1] y [2] son [[Factoriales y números combinatorios (1ºBach)#Propiedades de los números combinatorios | propiedades de los coeficientes binomiales]] :[1] y [2] son [[Factoriales y números combinatorios (1ºBach)#Propiedades de los números combinatorios | propiedades de los coeficientes binomiales]]
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 +|titulo1=Los secretos del triángulo de Pascal
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 +|sinopsis=El triángulo de Pascal contiene sorprendentes propiedades y curiosidades para disfrutar de las matemáticas.
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{{Videotutoriales|titulo=Binomio de Newton|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Binomio de Newton|enunciado=
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|sinopsis=Tutorial en el que se explica la construcción del Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia y se aplica para el desarrollo de potencias de binomios. También se explica la relación con el Binomio de Newton. |sinopsis=Tutorial en el que se explica la construcción del Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia y se aplica para el desarrollo de potencias de binomios. También se explica la relación con el Binomio de Newton.
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|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
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Línea 112: Línea 181:
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b) La diferencia del número de términos de los binomios <math>(a+b)^m\;</math> y <math>(a+b)^n\;</math> es 2; y el producto de dichos binomios posee tres términos más que el primero. Halla "m" y "n". b) La diferencia del número de términos de los binomios <math>(a+b)^m\;</math> y <math>(a+b)^n\;</math> es 2; y el producto de dichos binomios posee tres términos más que el primero. Halla "m" y "n".
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 +a) Si los coeficientes del primer y último término del desarrollo de <math>P(x,y)=(2a^2x^2+ay^5)^{16}\;</math> son iguales, halla el coeficiente del término 14.
 +
 +b) Al desarrollar el binomio <math>\left( \cfrac{x^m}{y^{n-10}}+\cfrac{y^{n+20}}{x} \right)^n\;</math> se obtiene un único término central, cuya parte literal es <math>x^{120}y^{720}\;</math>. Halla el valor de <math>m+n\;</math>.
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 +{{Video_enlace_fisicaymates
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 +|sinopsis=Halla el cuarto término del desarrollo de <math>\left(4x^2-5xy \right)^7</math>.
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 +{{Video_enlace_fisicaymates
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 +|titulo1= Ejercicio 15
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 +|sinopsis=Halla el 6º término del desarrollo de <math>\left(\cfrac{1}{3}-3x \right)^9</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace
 +|titulo1=Ejercicio 16
 +|duracion=19'39"
 +|sinopsis=Desarrolla las siguientes potencias usando el binomio de Newton:
 +
 +a) <math>(x^2+2x)^4\;</math>
 +
 +b) <math>(a-b)^5\;</math>
 +
 +c) <math>(x^2-3x)^6\;</math>
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 +
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{{p}} {{p}}
Línea 141: Línea 263:
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-==Ejercicios propuestos==+==Ejercicios==
 +{{AI_vitutor
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 +|descripcion=Autoevaluación sobre el binomio de Newton.
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 +===Ejercicios propuestos===
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números|Reales]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números|Reales]]

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Tabla de contenidos

[esconder]

(pág 45)

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Binomio de Newton

ejercicio

Teorema: Fórmula del binomio de Newton

El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:

(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,


que podemos expresar de forma abreviada de la siguiente manera:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k

siendo{n\choose k}, los coeficientes binomiales.

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karaji alrededor del año 1000.

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.
Aumentar
Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

[editar]

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.

\begin{matrix} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}{1 \choose 1} \\ {2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4} \\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \end{matrix}\;

Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, en los siglos X y XI, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

También conocido como triángulo de Tartaglia, especialmente en Italia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77).

ejercicio

Propiedades

  1. Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella.
  2. Los coeficientes del desarrollo de (a+b)n se encuentran en la línea "n+1" del triángulo de Pascal.
  3. El triángulo de Pascal es simétrico.
  4. La suma de todos los valores de la fila "n" del triángulo de Pascal es igual a 2n.
Triángulo de Pascal para n=10.
Aumentar
Triángulo de Pascal para n=10.
Triángulo de Pascal para n=3.

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Ejercicios

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Binomio de Newton

(Pág. 45)

1b

1a,c; 2

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