Distancias en el plano (1ºBach)

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(→Distancia de un punto a una recta)
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{{p}} {{p}}
 +(Pág. 203)
==Distancia ente dos puntos== ==Distancia ente dos puntos==
{{Caja_Amarilla|texto=La '''distancia entre dos puntos''' <math>P(x_1,y_1)\,</math> y <math>Q(x_2,y_2)\,</math> es igual al módulo del vector {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{PQ}</math>}}: {{Caja_Amarilla|texto=La '''distancia entre dos puntos''' <math>P(x_1,y_1)\,</math> y <math>Q(x_2,y_2)\,</math> es igual al módulo del vector {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{PQ}</math>}}:
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Distancia entre dos puntos''|cuerpo=+{{Videos: Distancia entre dos puntos del plano}}
-{{ai_cuerpo+{{Actividades|titulo=Distancia entre dos puntos del plano|enunciado=
-|enunciado='''Actividad 1:''' En esta escena vamos a hallar la distancia entre los puntos <math>P(3,-1)\,</math> y <math>Q(-1,2)\,</math>.+{{Geogebra: distancia entre dos puntos}}
-|actividad=+{{AI_vitutor
-<center><math>d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(-1-3)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5</math>+|titulo1=Autoevaluación
-</center>+|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre distancias entre dos puntos del plano.
 +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1_e_1.html
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +==Distancia de un punto a una recta==
 +{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:La '''distancia del punto''' <math>P(a,b)\,</math> a la recta <math>r: \, Ax+By+C=0</math> es:
-<center><iframe>+{{Caja|contenido=<math>d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>}}
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_1.html+|demo=[[Imagen:distpuntorecta.png|right]]
-width=520+Sea <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta.
-height=420+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-'''Ejercicio:'''+Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, sabemos que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|}</math>}}
-Calcula la distancia entre los puntos <math>P(3,-5)\,</math> y <math>Q(1,4)\,</math> y comprueba el resultado en la escena anterior.+Llamando {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=(A,B)</math>}}, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{RP}=(a-x_0,b-y_0)</math>}}
 +:<math>d(P,R)=|proy_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{RP}|=\cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{RP}|}{|\overrightarrow{n}|}=\cfrac{|(A,B) \cdot (a-x_0,b-y_0)|}{|(A,B)|}=</math>
 +:<math>=\cfrac{|A(a-x_0)+B(b-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb-(Ax_0+By_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>
 +
 +
 +ya que <math>Ax_0+By_0=-C\,</math>, por ser <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta.
 +----
 +{{Video_enlace_velazco
 +|titulo1=Otra demostración
 +|duracion=14´57"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=P740MiWj2GU&index=14&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n
 +|sinopsis=Otra demostración de la fórmula de la distancia.
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Distancia de un punto a una recta==+{{Video_enlace_pildoras
-{{Caja_Amarilla|texto=La '''distancia del punto''' <math>P(a,b)\,</math> a la recta <math>r: \, Ax+By+C=0</math> es:+|titulo1=Distancia de un punto a una recta
- +|duracion=11'04"
-{{Caja|contenido=<math>d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>}}+|sinopsis=Cálculo de la distancia de un punto a una recta.
- +|url1=https://youtu.be/HF8fOBOUUJU?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV&t=249
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se calcula la distancia de un punto a una recta utilizando vectores, tal y como se ha visto en la demostración anterior.
 +|enlace=[https://ggbm.at/DX44XqKK Distancia de un punto a una recta (método vectorial)]
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Distancia de un punto a una recta''|cuerpo=+{{Geogebra_enlace
-{{ai_cuerpo+|descripcion=En esta escena podrás ver como se calcula la distancia de un punto a una recta utilizando una construcción simple, de las que se denominan de "regla y compás".
-|enunciado='''Actividad 1:''' En esta escena vamos a hallar la distancia del punto <math>P(-5,8)\,</math> a la recta <math>r: \, 2x-6y+7=0</math>.+|enlace=[https://ggbm.at/yVMN7YPN Distancia de un punto a una recta (método de "regla y compás")]
-|actividad=+}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Distancia de un punto a una recta''
 +|enunciado=En esta escena vamos a hallar la distancia del punto <math>P(-5,8)\,</math> a la recta <math>r: \, 2x-6y+7=0</math>.
 +|sol=
<center><math>d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|2 \cdot (-5)-6 \cdot 8+7|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\cfrac{51}{\sqrt{40}}=8.06</math> <center><math>d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|2 \cdot (-5)-6 \cdot 8+7|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\cfrac{51}{\sqrt{40}}=8.06</math>
</center> </center>
- 
<center><iframe> <center><iframe>
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<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-'''Ejercicio:'''+'''Hazlo tú:'''
Calcula la distancia del punto <math>P(2,-1)\,</math> a la recta <math>r: \, x-3y+5=0</math> y comprueba el resultado en la escena anterior. Calcula la distancia del punto <math>P(2,-1)\,</math> a la recta <math>r: \, x-3y+5=0</math> y comprueba el resultado en la escena anterior.
}} }}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo
 +|titulo=Ejercicio resuelto: ''Distancias en el plano''
 +|enunciado=Halla el área del triángulo de vértices A(0,0), B(6,5) y C(2,5).
 +|sol=
 +Tomando como base del triángulo el lado BC, tendremos que calcular d(B,C) y d(A, BC) para hallar las medidas de la base y de la altura.
 +
 +'''Solución:''' Área=10 u<sup>2</sup>.
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Distancias en el plano|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Proyección de un punto sobre una recta
 +|duracion=7'15"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DTVSAfByd6I&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=37
 +|sinopsis=Videotutorial
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Distancia de un punto a una recta
 +|duracion=7´43"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=STYYXB-Nqg4&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=25
 +|sinopsis=
 +*Cálculo de la distancia de un punto a una recta.
 +*Ejemplos.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=9´27"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=wyhZstqVdF8&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=26
 +|sinopsis=Ejercicio sobre el cálculo de la distancia de un punto a una recta (2 métodos)
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=7´33"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Y3xqy-3Sxcg&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=27
 +|sinopsis=En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma continua.
 +Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=5´06"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kbUm1ZTzu54&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=28
 +|sinopsis=En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma paramétrica.
 +Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=6´56"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=D7EwaFj_qRQ&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=29
 +|sinopsis=Dos ejercicios sobre distancia de un punto a una recta en los que una de las coordenadas del punto es un parámetro "k" que hay que averiguar conocido el valor de la distancia.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=4´36"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=as_ZOpdojZk&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=30
 +|sinopsis=Hay que determinar la recta que pasa por un punto dado y equidista de dos puntos dados.
 +Típico de examen. No puede dejarse escapar.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=3´29"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DuA4Gr0JLR4&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=31
 +|sinopsis=Hay que determinar el punto de una recta dada "r" cuya distancia a la recta dada "s" es conocida.
 +Típico de examen. No puede dejarse escapar.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=4´22"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=LfFIRjAfxBw&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=32
 +|sinopsis=Dados dos puntos "P" y "Q", hay que determinar la recta que pasa por "P" y está a distancia dada de "Q".
 +Típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 8
 +|duracion=6´59"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=C3lzk8p8V_U&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=33
 +|sinopsis=Dados dos vértices de un triángulo equilatero, debemos determinar el tercer vértice.
 +Típico de examen. No puede dejarse escapar.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 9
 +|duracion=10´07"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=7mk5_lhTdUE&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=34
 +|sinopsis=Problema típico de examen sobre triángulos uno de cuyos vértices tiene una coordenada desconocida que hay que determinar, conocida el área. No es admisible dejarlo escapar.
 +
 +La solución que damos sirve para ilustrar el uso de "ventanas", que facilitan la tarea a tu profe y le hacen feliz.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=6´27"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=yt0wKc7tQcQ&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=35
 +|sinopsis=Determinar un punto de una recta que determina con otros dos puntos dados un triángulo de área dada.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 11
 +|duracion=7´18"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=iVud6bs6jQk&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=36
 +|sinopsis=Nos dan tres vértices consecutivos de un paralelogramo y debemos determinar el cuarto vértice y el área del paralelogramo.
 +Otro ejemplo de uso de "ventanas"..... esfuérzate en aprender a emplearlas.
 +
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +
 +==Ejercicios propuestos==
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Distancias en el plano''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 203)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1, 2
 +
 +}}
 +{{p}}
 +
 +==Distancia entre dos rectas==
 +{{Caja_Amarilla|texto=La '''distancia entre dos rectas paralelas''' "r" y "s" es la distancia a la recta "s" de un punto cualquiera de la recta "r".}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Distancia entre dos rectas paralelas|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=6´45"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KMlRovOtD8E&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=38
 +|sinopsis=
 +*La "distancia" entre dos rectas paralelas "r" y "s" es la distancia a la recta "r" de un punto cualquiera de la recta "s".
 +*Ejemplos.
 +----
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=3´37"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=GvJ23fKVs0c&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=39
 +|sinopsis=Determina el área de un cuadrado dos de cuyos lados están situados en sendas rectas dadas.
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=6'29"
 +|sinopsis=Cálculo de la distancia entre dos rectas paralelas
 +|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/geometria-analitica/distancias/distancia-entre-dos-rectas-paralelas-en-r
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:
 +{{p}}
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas paralelas: <math>r: \,
 +Ax+By+C=0
 +</math>{{b4}} y {{b4}}<math>r': \,
 +Ax+By+C'=0
 +</math>
 +
 +La distancia entre ellas viene dada por:
 +
 +{{Caja|contenido=<math>d(r,r')=\cfrac{|C-C'|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>}}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_velazco
 +|titulo1=Ejemplo
 +|duracion=8´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PCkKOnZb5xY&index=15&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n
 +|sinopsis=Tras verificar que son paralelas, halla la distancia entre las rectas <math>r: \,
 +x-y=-4
 +</math>{{b4}} y {{b4}}<math>r': \,
 +3x-3y+6=0
 +</math>
 +.
 +}}
 +
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 203)

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Distancia ente dos puntos

La distancia entre dos puntos P(x_1,y_1)\, y Q(x_2,y_2)\, es igual al módulo del vector \overrightarrow{PQ}:

d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

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Distancia de un punto a una recta

ejercicio

Proposición

La distancia del punto P(a,b)\, a la recta r: \, Ax+By+C=0 es:

d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

ejercicio

Ejemplo: Distancia de un punto a una recta

En esta escena vamos a hallar la distancia del punto P(-5,8)\, a la recta r: \, 2x-6y+7=0.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Distancias en el plano

Halla el área del triángulo de vértices A(0,0), B(6,5) y C(2,5).

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Distancias en el plano

(Pág. 203)

1, 2

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Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas paralelas "r" y "s" es la distancia a la recta "s" de un punto cualquiera de la recta "r".

También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:

ejercicio

Proposición

Dadas dos rectas paralelas: r: \, Ax+By+C=0     y     r': \, Ax+By+C'=0

La distancia entre ellas viene dada por:

d(r,r')=\cfrac{|C-C'|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Distancias_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"
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