Distancias en el plano (1ºBach)

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{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Distancia entre dos puntos''|cuerpo=+{{Videos: Distancia entre dos puntos del plano}}
-{{ai_cuerpo+{{Actividades|titulo=Distancia entre dos puntos del plano|enunciado=
-|enunciado='''Actividad 1:''' En esta escena vamos a hallar la distancia entre los puntos <math>P(3,-1)\,</math> y <math>Q(-1,2)\,</math>.+{{Geogebra: distancia entre dos puntos}}
-|actividad=+{{AI_vitutor
-<center><math>d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(-1-3)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5</math>+|titulo1=Autoevaluación
-</center>+|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre distancias entre dos puntos del plano.
- +|url1=http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1_e_1.html
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_1.html+
-width=520+
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-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-'''Ejercicio:'''+
- +
-Calcula la distancia entre los puntos <math>P(3,-5)\,</math> y <math>Q(1,4)\,</math> y comprueba el resultado en la escena anterior.+
- +
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
 +
==Distancia de un punto a una recta== ==Distancia de un punto a una recta==
{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:La '''distancia del punto''' <math>P(a,b)\,</math> a la recta <math>r: \, Ax+By+C=0</math> es: {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:La '''distancia del punto''' <math>P(a,b)\,</math> a la recta <math>r: \, Ax+By+C=0</math> es:
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ya que <math>Ax_0+By_0=-C\,</math>, por ser <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta. ya que <math>Ax_0+By_0=-C\,</math>, por ser <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta.
 +----
 +{{Video_enlace_velazco
 +|titulo1=Otra demostración
 +|duracion=14´57"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=P740MiWj2GU&index=14&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n
 +|sinopsis=Otra demostración de la fórmula de la distancia.
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Distancia de un punto a una recta
 +|duracion=11'04"
 +|sinopsis=Cálculo de la distancia de un punto a una recta.
 +|url1=https://youtu.be/HF8fOBOUUJU?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV&t=249
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se calcula la distancia de un punto a una recta utilizando vectores, tal y como se ha visto en la demostración anterior.
 +|enlace=[https://ggbm.at/DX44XqKK Distancia de un punto a una recta (método vectorial)]
 +}}
 +{{p}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás ver como se calcula la distancia de un punto a una recta utilizando una construcción simple, de las que se denominan de "regla y compás".
 +|enlace=[https://ggbm.at/yVMN7YPN Distancia de un punto a una recta (método de "regla y compás")]
 +}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''Distancia de un punto a una recta''
 +|enunciado=En esta escena vamos a hallar la distancia del punto <math>P(-5,8)\,</math> a la recta <math>r: \, 2x-6y+7=0</math>.
 +|sol=
 +<center><math>d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|2 \cdot (-5)-6 \cdot 8+7|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\cfrac{51}{\sqrt{40}}=8.06</math>
 +</center>
 +
 +<center><iframe>
 +url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_2.html
 +width=520
 +height=420
 +name=myframe
 +</iframe></center>
 +<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 +
 +'''Hazlo tú:'''
 +
 +Calcula la distancia del punto <math>P(2,-1)\,</math> a la recta <math>r: \, x-3y+5=0</math> y comprueba el resultado en la escena anterior.
 +
}} }}
{{p}} {{p}}
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace+{{Videotutoriales|titulo=Distancias en el plano|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Proyección de un punto sobre una recta
 +|duracion=7'15"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DTVSAfByd6I&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=37
 +|sinopsis=Videotutorial
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Distancia de un punto a una recta |titulo1=Distancia de un punto a una recta
|duracion=7´43" |duracion=7´43"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/04-distancia-de-un-punto-a-una-recta#.VC7Roha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=STYYXB-Nqg4&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=25
|sinopsis= |sinopsis=
*Cálculo de la distancia de un punto a una recta. *Cálculo de la distancia de un punto a una recta.
*Ejemplos. *Ejemplos.
}} }}
-{{Video_enlace+----
 +{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
|duracion=9´27" |duracion=9´27"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0401-ejercicio-11-2#.VC7UHxa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=wyhZstqVdF8&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=26
|sinopsis=Ejercicio sobre el cálculo de la distancia de un punto a una recta (2 métodos) |sinopsis=Ejercicio sobre el cálculo de la distancia de un punto a una recta (2 métodos)
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 2 |titulo1=Ejercicio 2
|duracion=7´33" |duracion=7´33"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0402-ejercicio-8#.VC7UURa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Y3xqy-3Sxcg&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=27
|sinopsis=En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma continua. |sinopsis=En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma continua.
Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar. Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 3 |titulo1=Ejercicio 3
|duracion=5´06" |duracion=5´06"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0403-ejercicio-7#.VC7Ugha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kbUm1ZTzu54&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=28
|sinopsis=En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma paramétrica. |sinopsis=En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma paramétrica.
Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar. Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 4 |titulo1=Ejercicio 4
|duracion=6´56" |duracion=6´56"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0404-dos-ejercicios-5#.VC7Uqha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=D7EwaFj_qRQ&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=29
|sinopsis=Dos ejercicios sobre distancia de un punto a una recta en los que una de las coordenadas del punto es un parámetro "k" que hay que averiguar conocido el valor de la distancia. |sinopsis=Dos ejercicios sobre distancia de un punto a una recta en los que una de las coordenadas del punto es un parámetro "k" que hay que averiguar conocido el valor de la distancia.
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 5 |titulo1=Ejercicio 5
|duracion=4´36" |duracion=4´36"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0405-ejercicio-2#.VC7U1Ra7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=as_ZOpdojZk&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=30
|sinopsis=Hay que determinar la recta que pasa por un punto dado y equidista de dos puntos dados. |sinopsis=Hay que determinar la recta que pasa por un punto dado y equidista de dos puntos dados.
Típico de examen. No puede dejarse escapar. Típico de examen. No puede dejarse escapar.
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 6 |titulo1=Ejercicio 6
|duracion=3´29" |duracion=3´29"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0406-ejercicio#.VC7VEha7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DuA4Gr0JLR4&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=31
|sinopsis=Hay que determinar el punto de una recta dada "r" cuya distancia a la recta dada "s" es conocida. |sinopsis=Hay que determinar el punto de una recta dada "r" cuya distancia a la recta dada "s" es conocida.
Típico de examen. No puede dejarse escapar. Típico de examen. No puede dejarse escapar.
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-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 7 |titulo1=Ejercicio 7
|duracion=4´22" |duracion=4´22"
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|sinopsis=Dados dos puntos "P" y "Q", hay que determinar la recta que pasa por "P" y está a distancia dada de "Q". |sinopsis=Dados dos puntos "P" y "Q", hay que determinar la recta que pasa por "P" y está a distancia dada de "Q".
Típico de examen. No es admisible dejarlo escapar. Típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.
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-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 8 |titulo1=Ejercicio 8
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|sinopsis=Dados dos vértices de un triángulo equilatero, debemos determinar el tercer vértice. |sinopsis=Dados dos vértices de un triángulo equilatero, debemos determinar el tercer vértice.
Típico de examen. No puede dejarse escapar. Típico de examen. No puede dejarse escapar.
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 9 |titulo1=Ejercicio 9
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|sinopsis=Problema típico de examen sobre triángulos uno de cuyos vértices tiene una coordenada desconocida que hay que determinar, conocida el área. No es admisible dejarlo escapar. |sinopsis=Problema típico de examen sobre triángulos uno de cuyos vértices tiene una coordenada desconocida que hay que determinar, conocida el área. No es admisible dejarlo escapar.
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-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 10 |titulo1=Ejercicio 10
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|sinopsis=Determinar un punto de una recta que determina con otros dos puntos dados un triángulo de área dada. |sinopsis=Determinar un punto de una recta que determina con otros dos puntos dados un triángulo de área dada.
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-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Ejercicio 11 |titulo1=Ejercicio 11
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|sinopsis=Nos dan tres vértices consecutivos de un paralelogramo y debemos determinar el cuarto vértice y el área del paralelogramo. |sinopsis=Nos dan tres vértices consecutivos de un paralelogramo y debemos determinar el cuarto vértice y el área del paralelogramo.
Otro ejemplo de uso de "ventanas"..... esfuérzate en aprender a emplearlas. Otro ejemplo de uso de "ventanas"..... esfuérzate en aprender a emplearlas.
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Distancia de un punto a una recta''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' En esta escena vamos a hallar la distancia del punto <math>P(-5,8)\,</math> a la recta <math>r: \, 2x-6y+7=0</math>. 
-|actividad= 
-<center><math>d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|2 \cdot (-5)-6 \cdot 8+7|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\cfrac{51}{\sqrt{40}}=8.06</math> 
-</center> 
 +==Ejercicios propuestos==
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Distancias en el plano''
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 +(Pág. 203)
-<center><iframe>+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1, 2
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_4_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-'''Ejercicio:'''+
- +
-Calcula la distancia del punto <math>P(2,-1)\,</math> a la recta <math>r: \, x-3y+5=0</math> y comprueba el resultado en la escena anterior.+
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}} }}
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==Distancia entre dos rectas== ==Distancia entre dos rectas==
-{{Video_enlace+{{Caja_Amarilla|texto=La '''distancia entre dos rectas paralelas''' "r" y "s" es la distancia a la recta "s" de un punto cualquiera de la recta "r".}}
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/06-distancia-entre-dos-rectas-paralelas#.VC7XsBa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=KMlRovOtD8E&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=38
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 +*La "distancia" entre dos rectas paralelas "r" y "s" es la distancia a la recta "r" de un punto cualquiera de la recta "s".
 +*Ejemplos.
 +----
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio+|titulo1=Ejercicio 1
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-|sinopsis=Videotutorial+|sinopsis=Determina el área de un cuadrado dos de cuyos lados están situados en sendas rectas dadas.
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_unicoos
-==Bisectrices del ángulo entre dos rectas==+|titulo1=Ejercicio 2
-{{Video_enlace+|duracion=6'29"
-|titulo1=Bisectrices del ángulo entre dos rectas+|sinopsis=Cálculo de la distancia entre dos rectas paralelas
-|duracion=5´29"+|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/geometria-analitica/distancias/distancia-entre-dos-rectas-paralelas-en-r
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/07-bisectrices-del-angulo-de-dos-rectas#.VC7YYxa7ZV8+
-|sinopsis=Videotutorial+
}} }}
-{{Video_enlace 
-|titulo1=Ejercicio 
-|duracion=7´50" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0701-ejercicio-21-2#.VC7Y3Ba7ZV8 
-|sinopsis=Videotutorial 
}} }}
-{{Video_enlace+{{p}}
-|titulo1=Ejercicio (Incentro de un triángulo)+También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:
-|duracion=9´37"+{{p}}
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0702-ejercicio-incentro-de-un-triangulo#.VC7ZABa7ZV8+{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas paralelas: <math>r: \,
-|sinopsis=Videotutorial+Ax+By+C=0
 +</math>{{b4}} y {{b4}}<math>r': \,
 +Ax+By+C'=0
 +</math>
 + 
 +La distancia entre ellas viene dada por:
 + 
 +{{Caja|contenido=<math>d(r,r')=\cfrac{|C-C'|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>}}
}} }}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_velazco
 +|titulo1=Ejemplo
 +|duracion=8´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PCkKOnZb5xY&index=15&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n
 +|sinopsis=Tras verificar que son paralelas, halla la distancia entre las rectas <math>r: \,
 +x-y=-4
 +</math>{{b4}} y {{b4}}<math>r': \,
 +3x-3y+6=0
 +</math>
 +.
 +}}
 +
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 203)

[editar]

Distancia ente dos puntos

La distancia entre dos puntos P(x_1,y_1)\, y Q(x_2,y_2)\, es igual al módulo del vector \overrightarrow{PQ}:

d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

[editar]

Distancia de un punto a una recta

ejercicio

Proposición

La distancia del punto P(a,b)\, a la recta r: \, Ax+By+C=0 es:

d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

ejercicio

Ejemplo: Distancia de un punto a una recta

En esta escena vamos a hallar la distancia del punto P(-5,8)\, a la recta r: \, 2x-6y+7=0.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Distancias en el plano

Halla el área del triángulo de vértices A(0,0), B(6,5) y C(2,5).

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Distancias en el plano

(Pág. 203)

1, 2

[editar]

Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas paralelas "r" y "s" es la distancia a la recta "s" de un punto cualquiera de la recta "r".

También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:

ejercicio

Proposición

Dadas dos rectas paralelas: r: \, Ax+By+C=0     y     r': \, Ax+By+C'=0

La distancia entre ellas viene dada por:

d(r,r')=\cfrac{|C-C'|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Distancias_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"
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