Combinatoria

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Tabla de contenidos

1 Combinatoria
2 Permutaciones
- 2.1 Permutaciones ordinarias
- 2.2 Permutaciones con repetición
3 Combinaciones
- 3.1 Combinaciones ordinarias
- 3.2 Combinaciones con repetición
4 Variaciones
- 4.1 Variaciones con repetición
- 4.2 Variaciones ordinarias
5 Ejercicios y Problemas

Combinatoria

La combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.

El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.

Combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones (43'24") Sinopsis:

La combinatoria es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones en que se pueden agrupar determinados elementos de un conjunto.

En este vídeo vamos a ver los conceptos de permutación, permutación con repetición, variación, variación con repetición, combinación y combinación con repetición.

Se expondrán dichos conceptos de una manera pedagógica de fácil entendimiento, tras la cual, se indicarán ejemplos referidos al tipo de combinatoria.

Finalmente se enunciará un ejercicio resuelto.

Combinatoria (Lista de reproducción) Sinopsis:

Lista de reproducción

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Permutaciones

Permutaciones (14'15") Sinopsis:

Tutorial sobre permutaciones con o sin repetición. Ejemplos

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Permutaciones ordinarias

Se llama permutaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos, y se representa $P_n\;$ , a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.

Proposición

El número de permutaciones de n elementos se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$P_n=n!\;$

Demostración:

Demostración:

Si quiero formar ordenar n elementos, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º de (n-1) maneras, el 3º de (n-2) maneras, ..., y el n-ésimo, de 1 sola manera. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.

Permutaciones ordinarias (o sin repetición)

Tutorial 1 (11'25") Sinopsis:

Permutaciones (sin repetición). Ejemplos

Tutorial 2 (4'48") Sinopsis:

Permutaciones (sin repetición). Ejemplos

Ejercicio 1 (0'48") Sinopsis:

Calcula las permutaciones de 4 elementos sin repetición: $P_{4}\;$

Ejercicio 2 (0'55") Sinopsis:

Calcula las permutaciones de 7 elementos sin repetición: $P_{7}\;$

Problema 1 (1'16") Sinopsis:

Calcula cuántos números de cuatro cifras diferentes (sin repetir la misma cifra) pueden formarse con los dígitos 3,5,7 y 9.

Problema 2 (1'29") Sinopsis:

Di el número de posibles clasificaciones de los 9 nadadores que participan en una prueba de 100 m mariposa.

Permutaciones circulares (3'00") Sinopsis:

Permutaciones circulares. Ejemplo.

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Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa $PR_n^{a,b,c,...}\;$ , a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.

Proposición

El número de permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$PR_n^{a,b,c,...}=\cfrac{n!}{a!b!c!...}\;$

Demostración:

Demostración:

Las permutaciones ordinarias con n elementos son n!. Pero cada elemento repetido "a" veces se puede colocar de a! formas distintas, de manera que debo dividir n! por a! para quedarme solo con las formaciones no repetidas. Lo mismo se hace con los "b", "c", ... elementos repetidos, por lo que habrá que dividir también por b!, c!, ...

Permutaciones con repetición

Tutorial (6'50") Sinopsis:

Permutaciones con repetición. Ejemplos

Ejercicio 1 (1'28") Sinopsis:

Calcula las permutaciones de 12 elementos con repetición de 7,3 y 2: $PR^{7,3,2}_{12}\;$

Ejercicio 2 (2'02") Sinopsis:

Calcula las permutaciones de 7 elementos con repetición de 3,2 y 2: $PR^{3,2,2}_{7}\;$

Problema 1 (1'40") Sinopsis:

Una pareja ha tenido 3 niñas y 1 niño. ¿En cuántos órdenes diferentes los ha podido tener?

Problema 2 (2'13") Sinopsis:

¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido, podemos forma con las letras de la palabra ORDENADOR?

Problema 3 (1'40") Sinopsis:

¿De cuántas maneras distintas podemos ordenar 3 bolas verdes, 2 rojas y 1 azul?

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Combinaciones

Combinaciones (15'54") Sinopsis:

Tutorial sobre combinaciones con o sin repetición. Ejemplos

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Combinaciones ordinarias

Se llaman combinaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por $C^k_n \,$ o $C_{n,k} \,$ , a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.

Proposición

El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

$C^k_n = {n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

Demostración:

Demostración:

Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1)$

formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.

Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.

Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es

${n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}$

Multiplicando el numerador y el denominador por $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;$

${n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}$

o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

c.q.d.

Ver: Números combinatorios

Combinaciones ordinarias (o sin repetición)

Tutorial 1 (11'27") Sinopsis:

Combinaciones (sin repetición). Ejemplos.

Tutorial 2 (9'03") Sinopsis:

Combinaciones (sin repetición). Ejemplos.

Tutorial 3 (6'45") Sinopsis:

Combinaciones (sin repetición). Ejemplos.

Ejercicio 1 (1'15") Sinopsis:

Calcula $C_{6,5}\;$

Ejercicio 2 (1'29") Sinopsis:

Calcula $C_{8,5}\;$

Problema 1 (1'48") Sinopsis:

Calcula cuántos zumos de cuatro frutas distintos se pueden hacer con siete clases de fruta.

Problema 2 (1'20") Sinopsis:

Vicente tiene 5 amigos y quiere salir cada sábado con 3 amigos diferentes. ¿Cuántos sábados podrá salir sin repetir?

Problema 3 (1'04") Sinopsis:

Tenemos cuatro colores (verde, rojo, azul y amarillo). ¿Cuántas mezclas diferentes podemos hacer si los mezclamos dos a dos?

Problema 4 (1'04") Sinopsis:

Tu profesora de Lengua Castellana te dice que, cuando acabes el curso, tienes que haber leído 3 libros de una lista de 5. ¿Cuántas posibles elecciones puedes hacer?

Problema 5 (2'18") Sinopsis:

En un colegio una comisión consta de 2 profesores y 4 alumnos. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar con 7 profesores y 10 alumnos?

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Combinaciones con repetición

Se llaman combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por $CR^k_n \,$ o $CR_{n,k} \,$ , a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.

Nota: n no tiene por qué ser mayor o igual que k.

Proposición

El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

$CR^k_n = {n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}$

Demostración:

Ver una explicación de esta fórmula en: Combinaciones con repetición (Wikipedia)

Ejemplo

¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir 10 caramelos iguales ente 4 niños?

Solución:

$CR^{10}_4 = {4+10-1\choose 10} = {13\choose 10} = 286$

Combinaciones con repetición

Tutorial (5'02") Sinopsis:

Combinaciones con repetición. Ejemplo

Ejercicio 1 (7'48") Sinopsis:

¿De cuántas maneras puedo coger 4 botellas de una bodega en las que hay 5 tipos de bebida? (Se supone que hay suficientes botellas de cada tipo como para poder coger hasta 4 del mismo tipo)

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Variaciones

Variaciones (14'15") Sinopsis:

Tutorial sobre variaciones con o sin repetición. Ejemplos

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Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa $VR_n^k\;$ , o bien $VR_{n,k}\;$ , a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.

Proposición

El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$VR_{n,k}=n^k\;$

Demostración:

Demostración:

Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º también de n maneras (pues puedo repetirlo), el 3º también de n maneras, ..., y el k-ésimo, de n maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.

Variaciones con repetición

Tutorial (13'06") Sinopsis:

Variaciones con repetición. Ejemplos.

Ejercicio 1 (0'44") Sinopsis:

Calcula $VR_{3,2}\;$

Ejercicio 2 (0'37") Sinopsis:

Calcula $VR_{5,2}\;$

Problema 1 (1'15") Sinopsis:

¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2 y 3, si se pueden repetir las cifras

Problema 2 (3'39") Sinopsis:

Con las cifras 0, 1, 3, 5 y 7, ¿cuántos números de 4 cifras podemos escribir?

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Variaciones ordinarias

Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa $V_n^k\;$ , o bien $V_{n,k}\;$ , a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.

Proposición

El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)$

Demostración:

Demostración:

Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º de (n-1) maneras distintas (pues no puedo repetir el anterior), el 3º de (n-2), ..., y el k-ésimo, de (n-k+1) maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.

Variaciones ordinarias (o sin repetición)

Tutorial (14'57") Sinopsis:

Variaciones ordinarias (sin repetición). Ejemplos

Ejercicio 1 (1'12") Sinopsis:

Calcula $V_{6,2}\;$

Ejercicio 2 (1'26") Sinopsis:

Calcula $V_{9,4}\;$

Problema 1 (1'15") Sinopsis:

¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2 y 3, si no se pueden repetir las cifras.

Problema 2 (4'24") Sinopsis:

Cuántos números de tres cifras no repetidas se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6? ¿Cuántos son pares?¿Cuántos terminan en 45?

Problema 3 (1'53") Sinopsis:

En una competición participan 6 corredores pero sólo hay 3 premios distintos (1º, 2º y 3º). ¿De cuántas formas distintas pueden asignarse 3 los premios entre los 6 atletas?

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Ejercicios y Problemas

Problemas: Combinatoria

Tutorial (13'31") Sinopsis:

Combinaciones, Variaciones y Permutaciones, cómo distinguirlas

Problema 1 (3'15") Sinopsis:

¿Cuántos parejas para jugar al parchís puedo formar con 5 alumnos?

Problema 2 (4'19") Sinopsis:

¿Cuántos packs de 2 botellas distintos puedo formar con 4 marcas de vino?

Problema 3 (4'32") Sinopsis:

¿Cuántos números de tres cifras distintas puedo formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?

Problema 4 (3'36") Sinopsis:

¿Cuántos números de tres cifras puedo formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?

Problema 5 (3'03") Sinopsis:

¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar los cuatro miembros de una familia en las cuatro butacas del cine?

Problema 6 (3'55") Sinopsis:

¿Cuántos números de cinco cifras puedo formar con los dígitos 2, 4, 4, 6 y 6?

Problema 7 (6'43") Sinopsis:

Cálculo del número de apuestas que se pueden hacer en una lotería primitiva de 50 números de los que se eligen 6.

Problema 8 (2'50") Sinopsis:

¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con 5 dígitos distintos si no se pueden repetir las cifras?

Problema 9 (5'09") Sinopsis:

¿Cuántos números de 9 cifras se pueden formar con los dígitos 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 y 4?

Problema 10 (4'31") Sinopsis:

¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 3? ¿Cuántos son pares?

Problema 11 (4'28") Sinopsis:

¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero, de un equipo de futbol, sabiendo que hay 12 candidatos?

Ejercicios y problemas resueltos: Permutaciones Descripción:

Ejercicios y problemas resueltos sobre permutaciones.

Ejercicios y problemas resueltos: Combinaciones Descripción:

Ejercicios y problemas resueltos sobre combinaciones.

Ejercicios y problemas resueltos: Variaciones Descripción:

Ejercicios y problemas resueltos sobre variaciones.

Problemas resueltos: Combinatoria Descripción:

Problemas resueltos sobre combinatoria.

Ejercicios y problemas resueltos: Combinatoria Descripción:

Problemas resueltos sobre combinatoria.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones combinatorias Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones con expresiones combinatorias.

Autoevaluación: Ejercicios de combinatoria Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre combinatoria.

Autoevaluación: Problemas de combinatoria I Descripción:

Autoevaluación sobre problemas de combinatoria.

Autoevaluación: Problemas de combinatoria II Descripción:

Autoevaluación sobre problemas de combinatoria.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Combinatoria"

Categorías: Matemáticas | Números

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Permutaciones ordinarias

Permutaciones con repetición

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Combinaciones ordinarias

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+La '''combinatoria''' es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.}}
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+Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.
+El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.
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+En este vídeo vamos a ver los conceptos de permutación, permutación con repetición, variación, variación con repetición, combinación y combinación con repetición.
+Se expondrán dichos conceptos de una manera pedagógica de fácil entendimiento, tras la cual, se indicarán ejemplos referidos al tipo de combinatoria.
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+Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
+Concluimos que el número de subconjuntos con ''k'' elementos, escogidos de un conjunto con ''n'' elementos es
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-==Variaciones ordinarias==
+===Variaciones ordinarias===
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y no se pueden repetir los elementos.
+{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.
 }}
 {{p}}
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Las variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
 <center><math>V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)</math></center>
 }}
 {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejemplos: ''Variaciones ordinarias''|enunciado=
+{{Videotutoriales|titulo=Variaciones ordinarias (o sin repetición)|enunciado=
+{{Video_enlace_matematicasfaciles
+|titulo1=Tutorial
+|duracion=14'57"
+|sinopsis=Variaciones ordinarias (sin repetición). Ejemplos
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kjvXH-ZFnu0
+}}
+----
 {{Video_enlace_childtopia
 |titulo1=Ejercicio 1
 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=EdJxM3C3juM&list=PLCCECEF49C3624949&index=2
 }}
+}}
+{{p}}
+==Ejercicios y Problemas==
+{{Videotutoriales|titulo=Problemas: ''Combinatoria''|enunciado=
+{{Video_enlace_miguematicas
+|titulo1=Tutorial
+|duracion=13'31"
+|sinopsis=Combinaciones, Variaciones y Permutaciones, cómo distinguirlas
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WclFTatHYuw&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=7
+}}
+----
+{{Video_enlace_miguematicas
+|titulo1=Problema 1
+|duracion=3'15"
+|sinopsis=¿Cuántos parejas para jugar al parchís puedo formar con 5 alumnos?
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Kyazsk4sk9g&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w
+}}
+{{Video_enlace_miguematicas
+|titulo1=Problema 2
+|duracion=4'19"
+|sinopsis=¿Cuántos packs de 2 botellas distintos puedo formar con 4 marcas de vino?
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=maiJoT-Idzg&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=2
+}}
+{{Video_enlace_miguematicas
+|titulo1=Problema 3
+|duracion=4'32"
+|sinopsis=¿Cuántos números de tres cifras distintas puedo formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=VcDnTHuqfEw&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=3
+}}
+{{Video_enlace_miguematicas
+|titulo1=Problema 4
+|duracion=3'36"
+|sinopsis=¿Cuántos números de tres cifras puedo formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3IPL9YHbA28&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=4
+}}
+{{Video_enlace_miguematicas
+|titulo1=Problema 5
+|duracion=3'03"
+|sinopsis=¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar los cuatro miembros de una familia en las cuatro butacas del cine?
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WurKD-eph1s&index=5&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w
+}}
+{{Video_enlace_miguematicas
+|titulo1=Problema 6
+|duracion=3'55"
+|sinopsis=¿Cuántos números de cinco cifras puedo formar con los dígitos 2, 4, 4, 6 y 6?
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Os0FEZqkTfY&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=6
+}}
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Problema 7
+|duracion=6'43"
+|sinopsis=Cálculo del número de apuestas que se pueden hacer en una lotería primitiva de 50 números de los que se eligen 6.
+|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/combinaciones/combinatoria-01-combinaciones-sin-repeticion
+}}
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Problema 8
+|duracion=2'50"
+|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con 5 dígitos distintos si no se pueden repetir las cifras?|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/permutaciones/combinatoria-02-permutaciones-sin-repeticion
+}}
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Problema 9
+|duracion=5'09"
+|sinopsis=¿Cuántos números de 9 cifras se pueden formar con los dígitos 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 y 4?|url1=https://www.youtube.com/watch?v=LUTlVlN56kE&index=3&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4
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+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Problema 10
+|duracion=4'31"
+|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 3? ¿Cuántos son pares?
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=t7oHJD7h6gM&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4&index=4
+}}
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Problema 11
+|duracion=4'28"
+|sinopsis=¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero, de un equipo de futbol, sabiendo que hay 12 candidatos?
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=h0FwTGtM7H8&index=5&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4
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+}}
+{{Ejercicios_vitutor
+|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Permutaciones''
+|descripcion=Ejercicios y problemas resueltos sobre permutaciones.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_p.html
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+{{Ejercicios_vitutor
+|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Combinaciones''
+|descripcion=Ejercicios y problemas resueltos sobre combinaciones.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_c.html
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+{{Ejercicios_vitutor
+|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Variaciones''
+|descripcion=Ejercicios y problemas resueltos sobre variaciones.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/v_e.html
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+----
+{{Ejercicios_vitutor
+|titulo1=Problemas resueltos: ''Combinatoria''
+|descripcion=Problemas resueltos sobre combinatoria.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_a.html
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+{{Ejercicios_vitutor
+|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Combinatoria''
+|descripcion=Problemas resueltos sobre combinatoria.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_e.html
+}}
+{{Ejercicios_vitutor
+|titulo1=Ejercicios resueltos: ''Ecuaciones combinatorias''
+|descripcion=Ejercicios resueltos sobre ecuaciones con expresiones combinatorias.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_d.html
+}}
+----
+{{AI_vitutor
+|titulo1=Autoevaluación: ''Ejercicios de combinatoria''
+|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre combinatoria.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_8_e.html
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+{{AI_vitutor
+|titulo1=Autoevaluación: ''Problemas de combinatoria I''
+|descripcion=Autoevaluación sobre problemas de combinatoria.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_8_e_1.html
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+{{AI_vitutor
+|titulo1=Autoevaluación: ''Problemas de combinatoria II''
+|descripcion=Autoevaluación sobre problemas de combinatoria.
+|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_8_e_2.html
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 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]