Combinatoria
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+ | ==Combinatoria== | ||
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+ | La '''combinatoria''' es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.}} | ||
+ | {{p}} | ||
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+ | Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos. | ||
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+ | El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema. | ||
+ | {{p}} | ||
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+ | |titulo1=Combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones | ||
+ | |duracion=43'24" | ||
+ | |sinopsis=La combinatoria es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones en que se pueden agrupar determinados elementos de un conjunto. | ||
+ | |||
+ | En este vídeo vamos a ver los conceptos de permutación, permutación con repetición, variación, variación con repetición, combinación y combinación con repetición. | ||
+ | |||
+ | Se expondrán dichos conceptos de una manera pedagógica de fácil entendimiento, tras la cual, se indicarán ejemplos referidos al tipo de combinatoria. | ||
+ | |||
+ | Finalmente se enunciará un ejercicio resuelto. | ||
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==Permutaciones== | ==Permutaciones== | ||
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+ | |sinopsis=Permutaciones circulares. Ejemplo. | ||
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}} | }} | ||
- | ==Permutaciones con repetición== | + | ===Permutaciones con repetición=== |
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles. | {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles. | ||
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}} | }} | ||
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- | {{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Permutaciones con repetición''|enunciado= | + | {{Videotutoriales|titulo=Permutaciones con repetición|enunciado= |
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|titulo1=Ejercicio 1 | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
+ | |||
==Combinaciones== | ==Combinaciones== | ||
- | {{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por <math> C^k_n \,</math> o <math> C_{n,k} \,</math>, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.}} | + | {{Video_enlace_fisicaymates |
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+ | }} | ||
+ | ===Combinaciones ordinarias=== | ||
+ | {{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por <math> C^k_n \,</math> o <math> C_{n,k} \,</math>, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.}} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado= | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado= | ||
Línea 127: | Línea 193: | ||
{{p}}{{Videos: Ejercicios combinaciones}} | {{p}}{{Videos: Ejercicios combinaciones}} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Combinaciones con repetición== | + | |
+ | ===Combinaciones con repetición=== | ||
{{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por <math> CR^k_n \,</math> o <math> CR_{n,k} \,</math>, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos. | {{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por <math> CR^k_n \,</math> o <math> CR_{n,k} \,</math>, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos. | ||
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Línea 145: | Línea 212: | ||
'''Solución:''' | '''Solución:''' | ||
- | :<math>CR^10_4 = {4+10-1\choose 10} = {13\choose 10} = 286</math> | + | :<math>CR^{10}_4 = {4+10-1\choose 10} = {13\choose 10} = 286</math> |
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+ | ---- | ||
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+ | }} | ||
- | ==Variaciones con repetición== | + | ==Variaciones== |
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+ | |duracion=14'15" | ||
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+ | ===Variaciones con repetición=== | ||
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>VR_n^k\;</math>, o bien <math>VR_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos. | {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>VR_n^k\;</math>, o bien <math>VR_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos. | ||
}} | }} | ||
Línea 162: | Línea 251: | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
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{{Video_enlace_childtopia | {{Video_enlace_childtopia | ||
|titulo1=Ejercicio 1 | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
Línea 192: | Línea 288: | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Variaciones ordinarias== | + | ===Variaciones ordinarias=== |
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos. | {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos. | ||
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Línea 205: | Línea 301: | ||
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Línea 239: | Línea 342: | ||
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==Ejercicios y Problemas== | ==Ejercicios y Problemas== | ||
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+ | |sinopsis=Cálculo del número de apuestas que se pueden hacer en una lotería primitiva de 50 números de los que se eligen 6. | ||
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+ | {{Video_enlace_unicoos | ||
+ | |titulo1=Problema 11 | ||
+ | |duracion=4'28" | ||
+ | |sinopsis=¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero, de un equipo de futbol, sabiendo que hay 12 candidatos? | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=h0FwTGtM7H8&index=5&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4 | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
{{Ejercicios_vitutor | {{Ejercicios_vitutor | ||
|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Permutaciones'' | |titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Permutaciones'' | ||
Línea 287: | Línea 464: | ||
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] |
Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
Combinatoria
La combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.
Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.
El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.
Permutaciones
Permutaciones ordinarias
Se llama permutaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos, y se representa , a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.
Permutaciones con repetición
Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa , a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.
Proposición
El número de permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Combinaciones
Combinaciones ordinarias
Se llaman combinaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por o , a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.
Proposición
El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:
Combinaciones con repetición
Se llaman combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por o , a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.
Nota: n no tiene por qué ser mayor o igual que k.
Proposición
El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:
Variaciones
Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa , o bien , a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.
Proposición
El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Variaciones ordinarias
Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa , o bien , a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.
Proposición
El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula: